概率论与数理统计probability

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1、第五节事件的独立性引例已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.设第i次取得白球为事件Ai(i=1,2).求因为是有放回地取球，无论第一次取的是红球还是白球，第二次都是在5红3白中取一球，取到白球的概率都是3/8,也就是说所以事件A1发生与否对A2发生的概率没有影响，此时有：此时称事件A1与A2相互独立两事件相互独立的定义设A、B是两个随机事件，如果则称A与B是相互独立的随机事件．两事件相互独立的性质1）设两事件A与B相互独立，若若证明：所以同理可证另一等式.2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件与任意随机

2、事件A相互独立所以必然事件S与任意事件A相互独立；所以不可能事件与任意随机事件A相互独立.证明：因为因为3)若随机事件A与B相互独立，则也相互独立.且证明其一：由于证明（差事件的概率）（相互独立性）证明：(1)由事件A与B相互独立，得即：A与B不互不相容例1.设事件A与B满足(1)若事件A与B相互独立，则A与B不互不相容；(2)若A与B互不相容，则事件A与B不相互独立．(2)由A与B互不相容,得即：A与B不相互独立本例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。显然A,B,C相互独立A,B,C两两独立三个事件相互独立的定义设A、B、C是三个随机事件

3、，如果称A、B、C相互独立称A、B、C两两独立设A:出现红色;B:出现黑色;C:出现黄色，试判断例2.有一均匀的八面体,各面涂有颜色如下将八面体向上抛掷一次,观察向下一面出现的颜色。12345678红红红红黑黑黑黑黄黄黄黄是否都成立。解：但显然所以此例说明：不能由推出例3一口袋中有4只球,一只涂白色,一只涂红色,一只涂蓝色,另一只涂有白、红、蓝三色.现从袋中随机抽取一球,以A,B,C分别表示事件“取出的球涂有白色”、“取出的球涂有红色”、“取出的球涂有蓝色”，试判断Ａ,Ｂ,Ｃ是否两两独立，是否相互独立．解：显然于是此例说明不能由A,B,C两两独

4、立推出A,B,C相互独立但所以Ａ,Ｂ,Ｃ两两独立，但不相互独立由上面两例可知：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立．n个事件相互独立的定义2）与两个随机事件相互独立类似：1)在上面的公式中，第一行有个等式第二行有个等式，…，最后一行有个等式，因此共有等式如果这n个随机事件相互独立，则这n个随机事件也相互独立。其中是的一个排列,说明注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一

5、般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。例4.甲乙二人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5和1/3，求密码被译出的概率.解：设A：甲译出密码，B：乙译出密码，C：密码被译出则方法一.（A,B相互独立）方法二.例5.假如每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，现把来自不同地区的100个人的血清混合，则混合后的血清中含有肝炎病毒的概率是多少？解：混合后的血清中含有肝炎病毒，说明这100个人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒，即要求的是和事件的概率设Ai：第i个人的血清中含有肝炎病毒,虽然肝炎会传染，但因为是

6、来自不同的地区，所以认为这100个人的血清中是否含有肝炎病毒是相互独立的。例6.甲乙二人轮流进行射击，第一次甲射击，第二次乙射击，…，每次射击甲射中目标的概率为0.3，乙射中目标的概率为0.4，求两人各自先射中目标的概率.解：设Ai：第i次射击射中目标，每次射击甲射中目标的概率为0.3，乙射中目标的概率为0.4，说明乙射击命中率较高，但因为甲先射击，他先射中的概率反而大，可见“先下手为强”，我得抓紧了，抢占先机，加油，努力！例7.有三个元件分别按串联和并联两种不同的方式构成两个系统，每个元件的可靠性均为r（0

7、互独立的，求每个系统的可靠性.解：独立性的应用——可靠性分析一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性，由元件组成系统，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.设Ai:第i个元件正常工作，A:系统正常工作(1)串联系统，123123(2)并联系统，例8.一系统如图，三个元件的可靠性均为1/2，且各元件独立工作，求系统的可靠性.解：设Ai:第i个元件正常工作，A:系统正常工作123