第三讲高考三角与向量问题选讲

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1、b~+c—a"=2bccosA,c2+a2—b2=2cacosB高考三角与向量综合问题选讲江苏省常熟市中学季冬青215500一、考试内容1.角的概念的推广，弧度制，0°〜360°间的角和任意角的三角函数。同角三角函数的基本关系。诱导公式。已知三角函数的值求角。2.用单位圆中的线段表示三角函数值。正弦函数的图像和性质。余弦函数的图像和性质。函数y=Asin（3x+0）的图像。正切函数、余切函数的图像和性质。3.两角和与差的三角函数。二倍角的正弦、余弦、正切。半角的正弦、余弦、正切。三角函数的积化和差与和差化积。4.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。二、考

2、试要求1.理解弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。2.掌握任意角的三角函数的定义，三角函数的符号，三角函数的性质，同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义。会求函数y=Asin（sx+0）的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角代数式的周期。能运用上述三角公式化简三角函数，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式。3.了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像的画法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y二Asin（0x+0）的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。4.能推导并掌握两角和、两角差、二倍角与半角的正弦

3、、余弦、正切公式。5.了解三角函数的积化和差与和差化积公式，不要求记忆。6.能正确地运用上述公式化简三角函数，求某些角的三角函数值，证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题。7.掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程，并能运用它们解斜三角形。8.掌握最简单的三角方程的解法。2.终边相同的角、区间角与象限角（1）终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2kn（kez）,即Pe{0

4、B=2kn+a,kez},根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。（2）区间角是介于两个角之间的所有角，如a£{a

5、-^a^―}=[-,—6666（3）象限角

6、，a的终边落在第几象限，就称a是第几象限角。（y（y（4）a、_、2。之间的关系。若a终边在第一象限则一终边在第一或第三象限；2a终边在第22一或第二象限或y轴正半轴。/y若a终边在第二象限则匕终边在第一或第三象限；2。终边在第三或第四象限或y轴负半轴。2（y若a终边在第三象限则一终边在第二或第四象限；2a终边在第一或第二象限或y轴正半轴。2/y若a终边在第四象限则才终边在第二或第四象限；2ci终边在第三或第四象限或y轴负半轴。2.三角函数线1.函数图像变换理论2.三角形中的公式(1)正弦定理：-^―=—2—sinAsinBsinC(2)余弦定理：朋+『一&二2abco

7、sC正弦定理、余弦定理沟通了角与边的关系，可使边转化为角，也可使角化为边。（3）三角形的面积公式，设AABC的面积为△,则I

8、

9、abc=—ab•sinC=—be•sinA=—ac•sinB=2R2sinA•sinB•sinC=——=Jp(p—a)(p—b)(p—C)=p•r2224Rnw其中p为ZABC周长的一半，即p=*（a+b+c）,R与r分别为AABC的外接圆与内切圆的半径。（4）若在AABC中，三边3、b、c成等差数列，则有下列结论:①a+c=2b；②sinA+sinC=2sinB；③0

10、用“1”的代换，如1=cos2o+sin2o=tanx・cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：«=3+B）—*旦等。22（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asin0+bcos=y]a2+b2sin（8+0）,这里辅助角0所在象限由a、b的符号确定，0角的值由tan^=-确定。a（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan?的有理式。22.证明三角等式的思

11、路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。1.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。2.解答三角高考题的策略。(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。一、皋础训练：1、己知sin«>sinP,那么