千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第69炼-直线与圆锥曲线的位置关系x

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1、直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y=kx--m和椭圆:22*+*■=1(°>b>0)为例（1）联立直线与椭圆方程:y=kx--mb2x2+a2y2=a2b2（2）确定主变量兀（或y）并通过直线方程消去另一变量y（或兀），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：b2x2+a2（kx-}-m）2=a2b2f整理可得:(°咲2^b^x1+2crkxm+a1m1-arb1=0（3）通过计算判别式△的符号判断方程根的个

2、数，从而判定直线与椭圆的位置关系①△＞（）=＞方程有两个不同实根=＞直线与椭圆相交②△=（）=＞方程有两个相同实根=＞直线与椭圆相切③A＜0=＞方程没有实根n直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，对通过方程根的个数进行判定以直线y=kx+m和椭圆:孑一十二"。〉〃〉。）为例（1）联立直线与双曲线方程:,消元代入后可得:y=kx--mb2x2-a2y2=a2h2-tz2A:2)x2-2i72Axm-(6Z2m2+^2/?2)=0（2）与椭圆不同，在椭

3、圆屮，因为a2k2+b2＞0,所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为h2-crk有可能为零。所以要分情况进行讨论当/?2-^2=0^Z:=±-且加HO时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲a线相交，只有一个公共点当b2-a2k2>0^—0恒成立，此aa吋直线与双曲线相交当b2-a2k2-^k<——时，直线与双曲线的公共点个数需要用△判断：cia①A>0=>方程有两个不同实根n直线与双曲线相交②4=00方程有两个相同实根=>直线与双曲线相切③AvOn方程没有实根=>直线与双曲线相离注：

4、对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切(3)直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为(y,_g]U[q,+8)，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当x>a^，点位于双曲线的右支；当x0=>--

5、1999•9②当宀収<。"辽或“二，且△>()时，心-击所以西,兀2同号，即交点位于同一支上(4)直线与双曲线位置关系的儿何解释：通过(2)可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点±2刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置a关系的判定b①k=±—且m#0时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程a中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点bb①-一vRv—时，直线的斜率介于两条渐近线斜率Z中，通过图像可得无论如何平移直aa线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。②b2-a2k2k

6、>-或kS时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得:aa直线不一定与双曲线有公共点（与△的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1、位置关系的判定：以直线y=kx+m和抛物线：y2=2px（p>0）为例y=kx+m/“联立方程：（也+加）—2/zr,整理后可得：[y~=2pxk2x2+（2Z:m-2/?）x+m2=0（1）当P=0时，此时方程为关于兀的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交（2）当20时，则方稈为关于兀的二次方程，可通过判别式进行判定①A>0=>方程有两个不同实根n直线

7、与抛物线相交②4=0=方程有两个相同实根=>直线与抛物线相切③AvOn方程没有实根=>直线与抛物线相离过焦点的直线I:y=k2丿2、焦点眩问题：设抛物线方程：y2=2px,（斜率存在且£工0）,对应倾斜角为&,与抛物线交于人（西，必），3（兀2』2）联立方程:y2=2pxy=kx•I2丿、2x-P]2丿整理对得:⑴心十"2=7、4r*k2p+2p2k2p+2p(2)

8、AB

9、=X]+p+p=——+P=—p—=2pfl+'