千题百炼高中数学100个热点问题(三)第65炼直线的方程与性质.doc

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1、第65炼直线的方程与性质一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围2、斜率：设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）斜率的求法：已知直线上任意两点，则，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。

2、3、截距：若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向：①点斜式：已知直线的斜率，直线上一点，则直线的方程为：证明：设直线上任意一点，根据斜率计算公式可得：，所以直线上的每一点都应满足：，即为直线方程②斜截式：已知直线的斜率，纵截距，

3、则直线的方程为：证明：由纵截距为可得直线与轴交点为，从而利用点斜式得：化简可得：（2）两点确定一条直线：③两点式：已知直线上的两点，则直线的方程为：④截距式：若直线的横纵截距分别为，则直线的方程为：证明：从已知截距可得：直线上两点，所以⑤一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：（不同时为0），此形式称为直线的一般式一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线

4、）（2）截距式：①截距不全的直线：水平线，竖直线②截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是，则要考虑重合的情况。2

5、、直线平行的条件（1）斜截式方程：设直线①②若直线的斜率存在，则（2）一般式方程：设，则①当时，∥②，且和中至少一个成立，则∥（此条件适用于所有直线）3、直线垂直的条件：（1）斜截式方程：设直线，则（2）一般式方程：设，则：4、一般式方程平行与垂直判定的规律：可选择与一般式方程对应的向量：，即有：，从而的关系即可代表的关系，例如：（注意验证是否会出现重合的情况）（三）距离问题：1、两点间距离公式：设，则2、点到直线距离公式：设则点到直线的距离3、平行线间的距离：则的距离为（四）对称问题1、中心对称：（1）几何特点：若关于点中心对称，则为线段的中点（2）解析特征：设，，则与点关于点中心对称

6、的点满足：2、轴对称（1）几何特点：若若关于直线轴对称，则为线段的中垂线，即，且的中点在上（2）解析特征：设，，则与点关于轴对称的点满足：，解出即可（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线，直线关于的对称直线为①若∥，则∥，且到对称轴的距离与到对称轴的距离相等②若与相交于，则取上一点，求出关于的对称点，则即为对称直线（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值（1）与直线平行的直线系方程为：（为参数，且）（2）与直线垂直的直线系方程为：（为参数）2、过定点的

7、直线：（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可（2）已知（与不重合），则过交点的直线系方程为：（该直线无法表示）3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程二、典型例题：例1：直线的倾斜角的取值范围是（