千题百炼高中数学100个热点问题(三)第67炼圆锥曲

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1、第67炼圆锥曲线的性质一、基础知识（一）椭圆：1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点许,览的距离和为定值（定值大于反场

2、）的点的轨迹称为椭圆，其屮斥，&称为椭圆的焦点，片坊称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在兀轴上的椭圆：设椭圆上一点P（兀,y），耳（—c,0）,坊（c,0）,设距离和PF、+PF?=2a,则椭圆的标准方程为:其中(67>b>O,b2=a2-c2)②焦点在y轴上的椭圆：设椭圆上一点P（x,y），£(O,—c),/^(O,c),设距离和22PF{+PF2=2af则椭圆的标准方程为:寻+話=1,其中（a>b>0,b2=a2-c2）焦点在哪个轴上，则标准

3、方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x轴的椭圆为例:=l(d>b>0)（1）—与长轴的顶点有关：£（—q,0），4仏0），=称为长轴长b：与短轴的顶点有关：3

4、（0,-方）,尽（00）,B}B2=2b称为短轴长c：与焦点有关:耳（-°0）迅（c,0）,FxF2=2c称为焦距（2）对称性：椭圆关于兀轴，y轴对称，且关于原点屮心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设P（x0,y0）,则一a

5、,）b）,Q（—c,—y。），所以r2v2A4A22h2—=可得儿=_。则pq=L_aoaaa（5）离心率：e=—,因为cva,所以ww（O,l）a（6）焦半径公式：称P到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点P（JV0,y0）,贝\PF=a+ex.PF^=a-ex{}（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为Q+C,最小值为d-c90（7）焦点三角形而积：5=&2tan-（其中&=ZPF}F2）证明：Sw韵呵•阳sin唧2口闪鬥『=『时+

6、P/丁一2『用『鬥

7、cosf；P场=（

8、PF1

9、+

10、P^

11、）2-2

12、Pf；

13、

14、PF,

15、（l+cos

16、F；P^）・・・4疋=4/—21卩叶

17、P鬥

18、（1+cos斤P鬥）2/一2圧1+cos^P/%2护1+cos^P/%w胡明阳时啓斗Jsin侶1221+cosPF}F2=b2,^F}PF2=b2VdnFZ^1+cos/^P/s2因为Sjp竹=g，2c・y（）=c・y（）,所以b1tan=c'））＞由此得到的推论:①AF{PF2的人小与北之间可相互求出②ZFfF?的最人值：FfF?最大oS屮忙最人oy（）最大0P为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点耳，坊距离差的绝对值为一个常数（小于旧场

19、）的点的轨迹称为双ilh线，其小件d称为椭圆的焦点，闪佗

20、称为椭圆的焦距；如果只

21、是到两个定点件传距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：①焦点在兀轴：设双曲线上一点P（x,j）,耳（一c,0）,场（c,0）,设距离差的绝对值用-阳

22、=2a,则双曲线标准方程为:右一*=其中（°>0上>0上2=疋一°2）②焦点在y轴：设双曲线上一点“兀丿），片（0,-c）,鬥（0,c）,设距离差的绝对值22用-阳

23、=2a,则双曲线标准方程为:卡一+=1,其^（a>0,b>0Jr=c2-a2）焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数222、双曲线的性质：以焦点在x轴的双曲线为例：二一・=1（。>0小>0）crb~（1）a:与实轴的顶点有关：4（-6f,0）,A（6z,0

24、）,

25、A4

26、=2g称为实轴长b：与虚轴的顶点有关：色（0,-b）,B?（0,b）,0厶

27、=2/?称为虚轴长c：与焦点有关：斥（一c,0）,鬥（c,0）,闪场

28、=2c称为焦距（2）对称性：双曲线关于兀轴，y轴対称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设P（x0,y0）»则-^0-~a或兀0»。，y0G（4）离心率：e=—f因为c>a,所以幺w（l,+oo）a（5）渐近线：当兀T+oo或兀T-oo时，双曲线在向两方无限延伸吋，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需计右侧的1变为0,再解2222出

29、y关于x的直线即可。例如在1一占=1（a>0,方>0）中，求渐近线即解：二一£=0,crb~cTb~变形为y=±—x,所以y=±—x即为双llll线的渐近线aa②渐近线的几何特点：肓•线x=a,x=-a,y=b,y=-b所用成的矩形，其对和线即为双till线的渐近线①渐近线的作用：一是可以辅助作线的图像；二是渐近线的斜率也能体现a、b、c的关系。（6）通径：①内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各収一点连成的线段2/?2②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ丄