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《千题百炼——高中数学100个热点问题(三)第68炼离心率》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第68炼圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥Illi线的一•个重要儿何性质，一方面刻画了椭圆，双Illi线的形状，另一•方面也体现了参数之间的联系。一、基础知识：L离心率公式：e=-(其中c为圆锥曲线的半焦距)a(1)椭圆：兀(0,1)(2)双曲线：ee(l,+oo)2、圆锥曲线屮的几何性质及联系(1)椭圆:a2=b2+c2,①2—长轴长，也是同一点的焦半径的和：PF}+PF2=2a②2b：短轴长③2c:椭圆的焦距(2)双曲线：c2=br+a2①2d：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：PF}-PF2=2a②2h：虚轴长③2c:椭圆的焦距氛求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离
2、心率主要I韦I绕寻找参数a,b,c的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：(1)利用儿何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形),那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与d有关，另一条边为焦距。从而可求解(2)利用坐标运算：如果题目屮的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用abc进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系吋通常可从以下儿个方而考虑：(I)题冃中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围冇要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则
3、可考虑该点坐标用abc表示，R点坐标的范围就是求离心率范围的突破I1(2)若题冃中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可(J)通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线屮对离心率范围的初始要求：椭圆：ee(O,l),双曲线：ee(l,+oo)二、典型例题：22例I：设片,的分别是椭圆C:二+・=1(°＞方＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线a段P片的中点在y轴上，若鬥=30°,则椭鬪的离心率为()a.旦■.亘e.1■.丄3636思路：本题存在焦点三角形JPF}F2，由线段卩人的中点
4、在y轴上，O为人场中点可得PFJ/y轴，从而P耳丄耳鬥，又因为ZP£/^=30°,则直角三角形DPF}F2中，P片：P笃：片笃=2:1:盯，且2°=
5、P片
6、+
7、P场
8、,2c=
9、片月，所以._c_2c_F、F?_空a2aPF、+PF23答案：iX小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O为片场中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。22例2：椭圆$+*=l(0v方＜2⑹打渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点百,场「P为它们的一个公共点■且Zf]P/^=90则椭圆的离心率为思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设F}F2=2c,在
10、双曲线中，■—=l=＞6Z：/?：c=2:l:＞/5,不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：a2PF+PF2=4乜，由双曲线定义可得：PFx-PF2=la=^=c，因为毘=90°,:.PFX2+PF22=4c2而PF、2+『可=（卩恥"2）2+（〃；-朋）2代入可得：48+^=8?=>c=Vw."=£=迈5a6答案:迈6小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。22例7：如图所示，已知双Illi线令一*=l（d>b〉o）的右焦点为F,过F的直线/交双Illi线的渐近线于A,3两点，且直线/
11、的倾斜角是渐近线Q4倾斜角的2倍，若乔=2帀,则该双曲线的离心率为（V30确定直线I的方程为y=$^（x-c）,与渐近线联立方程得cr一tr2ab(、y=99(x~c)「.a~~b~=>y=——"尸:&将乔=2而转化为坐标语言，丄b3/—戻丿a2+h2y=±_a则％=-2九，即上笔=2・"be.,解得d”：c=J5:l:2,从而e=-^3er+b-3cr_tr3答案：B22例4:设F
12、,笃分别为双曲线^-^v=l（67>0,Z?>0）的左、右焦点，双Illi线上存在一点Per/r9使得IP斥
13、+
14、P场
15、=3»
16、
17、•
18、P场
19、=-ab,则该双曲线的离心率为““4459A.—B
20、.—C.—D.3334思路：条件与焦半径相关，所以联想到^PF-PF^=2a,进而与9PFX+PF,
21、=3/a
22、P^MP/s=-ah,找到联系,计算出⑦方的比例,从而求得丘〜〜4解:・・•㈣呵=2°.•.（阿
23、+
24、“2
25、）2人,4申,民为椭圆罕+莓=i（a>b>0）的四-（『可-『/<=4网
26、.『场
27、即9b2一4a2=9ab=>9b2一9ab-4a2=0/.93一9上_4=0a解得：w（舍）或*w答案：B£_5a3例5：如图，在平面宜角坐标系xOy屮,个顶点，F为其右焦点，直线A/?少直线B.Fffl交于点T,线段
