初高中衔接学生自学材料

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1、一)、必会的乘法公式[公式1](tz+b+c)""=ci2+b~+c~+2ab+2bc+2ca证明：•.*(a+b+c)2=[(a+/?)+c]2=(g+b)2+2(d+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2cci/.等式成立【例1】计算：(x2-V2x+1)解：原式=[，+(——]2说明：多项式乘法的结來一•般是按某个字母的降幕或升幕排列.【公式2】(a+b)(a2-ab+b2)=a^b3(立方和公式)证明：(a+/?)(/-ab+b‘)=a'-a2b+ab2+a2b-ab2+//=

2、a3+b‘说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)=8a3+h3【公式3】(a-b)(a2+"+，)=/—，(立方差公式)1•计算(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)=(4)(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=2.利用立方和、立方差公式进行因式分解(1)27m3-n3=(2)27宀討=(1)F—125=(2)m6-n6=【公式4】(a+b)3=a3^-b3+3a2b+3ab2【公式5】(a-b)5=a3-3a2b+3

3、ab2-b3【例3】计算：?1119119(1)(4+Z7?)(l6-4m+m)(2)(—m〃)(——mn-—rT)5225104(3)(a+2)(a—2)(a°+4/+16)(4)(x2+2xy4-y2)(x2—xy+y2)2解：(1)原式=434-m3=644-m3(1)原式=(丄〃2)'-(-n)3=—m3--n3521258(2)原式=@2_4)(/+4q2+42)=@2)3_牟=q6_64(3)原式=(x+y)2(x2-xy+y2)2=[(x+y)(x2-xy+y2)]2=(x3+y3)2=x6+2x3y3+)'说明：(1)在

4、进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.(2)为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的..°1【例4】lI^IIx~—3x+1=0,求兀'H—的值.x■o1解:x—3x+1=0xH0x4—=3x171119.原式二(X+—)(兀2-1+—)=(%+-)[(x+-)-3]=3(32-3)=18Xx~XX说明：本题若先从方程/-3x+l=0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐.木题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，

5、简化了计算.请注意整体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.【例5】已知d+b+c=0,求a(丄+丄屮(丄+丄)+c(丄+丄)的值.bccaab解：Td+b+c=0,:.a+b=-c,b+c=-a.c+a=-b址亠b+cfa+ca+bbeab:.MA=a+b+caca(-a)b(-b)c(_c)-__+be+—ab•/cC+b'=(q+b)[(a+b)~—3ab]=—c(c?—3cib)=—+3abc.・./+/?3+。3=3〃C②，把②代入①得原式二一无竺=一3abc说明：注意字母的整体代换技

6、巧的应用.二)、根式式子7^(6/>0)叫做二次根式，其性质如2⑴(需)2=a(a>0)⑶y[ab=y[a--Jb(a>0,b>0)【例6】化简下列各式：(1)J(巧_2尸+J(JJ_1)2(4)>0,b>0)(2)J(1-X)2+J(2-x)2(x>1)解：(1)原式=

7、的_2

8、+

9、馆_1

10、=2_馆+的_1=1⑵原式=

11、x—l

12、+

13、x—2

14、=

15、(x-l)+(x-2)=2x-3(x>2)

16、(x-l)-(x-2)=l(l

17、4-ab2ab【例7】计算(没有特殊说明，木节屮出现的字母均为正数)：(1)(2)(3)+

18、(4)2.H--[x^4-V8x2+V3VabV2B13x2a/6解:⑴矿'8_V8x2-V⑵原式--3(2-V3)-=邈")=6-3巧(2+73)(2-73)22-3I2%/(^4)原工1=2」—Jx•兀彳+J2x2?x=J2兀—Xy[x+2j2x=3J2兀—xy[x2x2说明：(1)-次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：3②分母小有根式(

19、如尹①被开方数是整数或整式.化简吋，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出來；化为书))或被开方数有分母(如).这时可将其化为书形式(如可,转化为“分母中冇根式叩勺情况.化简时，要把分母中的根