专题05极值法-高中物理解题方法精讲含解析

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1、高中物理解题方法之极值法高屮物理屮的极值问题，是物理教学研究屮的活跃话题。木文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。一、二次函数求极值二次函数yG+处+—心+舟当…舟吋，y有极值4ac-b2若a>0,为极小值，若avO,为极大值。例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。设第一个物体的质量为加I，速度为％。第二个物体的质量为加2，速度为％。碰撞以后的速度分别为V；和岭】假使这四个速度都在一条直线上。根据动量守恒定律有：+m2V2=/?zlV1+m2V2(1)如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，(1)则变为myx+m2V2=

2、(m}+/n9)V即W=“*十(2)~+m2现在就是要证明，在满足(1)式的碰撞小，动能损失最大的情况是(2)式。碰撞中动能损失为22‘2,2m,v.m-,v9、zm.v,、AEk=(」丄+」■二~)一(二^+22)(3)2222转变为数学问题：△H为v的二次函数：由⑴得…2、也3土沁2(4)m2将(4)代入(3)得：△一Oq+m2)乜m(miV

3、+m2v2)•Ek二z叮'2mm2.v92(m}v}+m9v9)2v.+[—L-L-+—_]222m2二次函数求极fit当叱）（5）时（m,+m2）AEk有极大值。回到物理问题，将（5）代入（4）得V2，（W+吋2）（加

4、］+加2）此两式表明，E和m2碰后速度相等，即粘合在一起,此时动能损失（△EJ最大。二、由公式⑺-防no得/+b2>2ab当a=b吋，a2+Z?2有极小值2ab,若。=一，此吋极小值为2。b2,2同理，ob的极大值为一02例2求弹性正碰中mi所传递给口2的动能最大或最小的条件。设一个质量为rrh，动能为Ek的物体与一个质量为m2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m】传递给m2动能最大或最小的条件。设m】原來的速度为V】，碰撞后两物体的速度分别为V：和匕'，根据弹性正碰中的动量守恒和动能守恒，有方程组：r99mAVt=mx+m2V2<1V21“22/71,+

5、m2—mxV,=—mlVl+—m2V2解此方程得：”=匕,m,+m2mi传递给动能，即为rr^获得的动能:rIxZ2X1z2"24“仙Ek9=—=—m1(V})=Eko一22mx+m2(加］+m2)现在求Ek；的极值条件和极值。Ekr=Av4/7?1m292m2+m2Ek=Ek叫m当rru二m2时也_+巴1有极小值2,所以当口二rr^时，琢2有极大值以，即Em2mA传递给口2动能最大的条件是二者质量相等。此时的全部动能传递给口2,也就是说：碰撞之后v/=0,v/=v,o这在物理学史上有一段趣闻，在成立不久的英国皇家学会的一次例会上，一位工程师的表演引起了与会者的极大

6、兴趣：两个质量相同的钢球A和B,分别吊在细绳上，静止时紧靠在一起，使A球偏开一个角度后放开，它回到原来的位置时撞上B球，碰撞后A球静止下來，B球摆到与A求原來高度几乎相等的高度。惠斯通通过対此现象的研究和解释屮确定了动能的定义。此问题可扩大到第二个物体原来不静止的情况。设口2碰前的速度为V2,则方程组变•!myx+/779V2=myV2+m2V2为：1“21""11Tz2r1“2‘4--m2V2=-mlV[+-m2V2其解为」'=巴匸竺匕+丄」匕m,+m2mA+m2匕竺二乞匕+m2mx+m2fi^1f则4Ek=Ek?-Ek2=-m2V2~-一m2V22,将％的表达式代

7、入此式，并且以Ek】221212代入~mAV^以代入-m2V22,得：血二丄叫軒一码）_如込孕皿，当叶®时，因后项为（加1+m2y（zHj+加2）零，前项取最大值，故△琢取最大值。此时，g把原来叫多的那部分动能全部传递给叫。三、三角函数求极值：TT三角函数y=sinx,当兀=0时，y取最小值0,当兀=—吋，y取最大值1,（%在TTTT0到一范围内），同理，y=cosx,x=0时，y取最大值1,兀=—时，y取最小值0。22例3在倾角&=30°的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩擦系数为//=—，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方

8、向如何？设所加的外力F与斜面夹角为Q,物体受力情况如图所示。由于物体作匀速直线运动，根据共点力的平衡条件，有方程组:Fcosa-mgsind-f=0

9、Ja=90°-炉时，y取最大值J1+,F最小值为叫(si："+“