【精品】第二章数列极限习题解答

《【精品】第二章数列极限习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第2章数列极限§2.1数列极限的概念一基本内容一、数列极限的定义mann—=A<=>V£>0,3/V>0,3ifn>N=>an-A

2、<£n.在用定义证明极限时有两种方法.1分析法由不等式an-a<£寻找死与£的关系，从而求N的方法称为分析法.2综合法由

3、色-询经放大得到〃的简易表达式，从而求出/V的方法称为综合法.二、数列发散的定义lima”Hao%>0,X/N>0,丸〉N,汕❻-a咨”.n—吨数列｛$｝发散oX/a,lingua<=>Vtz,>0,?ut7(a,£*0)外有｛a“｝的无穷多项”.三、无穷小数列数列匕｝称为无穷小olima”=0・刀一>8性质(1)无穷小

4、的和差仍是无穷小；(2)无穷小的积仍是无穷小；(3)无穷小与有界量的积仍是无穷小；(4)lima“=«<=>(an-a)为无穷小.刃一>8二习题解答设％」十"，/?=1,2,…，«=0.(1)对下列£分别求出极限定义中相应的N,£严0」，£2=0.01,£3=()001；(2)对E、S5可找到相应的N,这是否证明了色趋于0?应该怎样做才对？(3)对给定的£,是否只能找到一个N?11(—29解：(1)因为an-a=0<—,所以二时，an-a

5、相应的M这不能证明a”趋于0.必须是V£>0,N=[Z],当n>N时，an-0

6、<^,才能证明d”的极限为().(3)因为limd!w=0<=>Vf>0,3AT>0,N=>an-C<£99,而zi>TV+1时，亦有af)-0

7、<£t故N的选取不唯一•2按£・W定义证明.—8Yt+1证：因为—1V£,故lira"・=1•4n2-2<3n2+n2-2N时,<£,故1曲3=。…2/-12H9证：因为£-0一0V£,=123n<-,所以V£>0,取n=R］,

8、当nnnnLC故lim—=0.〃T87T(4)limsin—=0.〃T8斤rE“.71证：因为sin--O=sin-<-,所以/£>0,取7V=

9、-1,当n>Nnn_时，sin—-0<£,故limsin—=0.nZtT3fj(5)lim-^=O”tsq"证：设d=l+/z,(d>1)・于是0=—1=>/?>0,且当n>2时,a"=(1+h)n>—n(n一l)/?2,4an(n-l)/?2—5+72—2)胪4所以V£>0,取nfrN=max<2、当n>N时，lim-产■3指出哪些是无穷小数列？(1)解:因为lim^-=0(a>0),所以lim厶=()・故[丄]

10、是无穷小数[]nJ列.⑵lin価.刃一>8解：因为lim丽=1(°>1),所以lim听=1.故｛^3)非无穷小数列.H—>00HT8IJlimA•齐T8解:因为limA0(cr>0),所以lim亠=0.故<丄」是无穷小数列•EflIT解:因为limg"=0(

11、彳

12、<1),所以lim丄=0.故<丄｛是无穷小数列.“T83〃是无穷小Q)解:因为limg"=0(

13、g

14、vl),所以lim-；==0.故“—>8刃t«>数列.lim#10.NTsW—解：因为lim丽=1所以limV10=l.故｛Vio｝非无穷小数列.4证明：若liman=ci.则PkwN*,liman^k=a.〃T8w—

15、>«>证：因为limarl=af所以Vr>0,>0,N二>a.-a<£‘，，川T8于是当n>N时，PkwN*、an^k-a>—N+12n证：取勺=丄，则V7V>22数列<+｝不以1为极限.(2)数列｛沪)［发散.证：V«gR,d=0时，取q=l，则0N>2,取§=2N,则科"一0=2N>I,当QHO时，取绻=1，则0N>

16、o

17、,取%=2N,贝ij屮0-a>2N-a>N>],故数列｛n(-,,nJ发散.6证明数列匕｝收敛于a<^an-ci为无穷小数列，并用此结论证明lim幵T8¥n证

18、：(=>)设｛a”｝收敛于a,则Iimt7zi-a,即Vf>0,BN>0,3an>N=>an-a<£”,于是lim

19、an-a

20、=0,即an-为无穷小数列.(<=)设a„-a为无穷小数列,则lim

21、a”-a

22、=0,于是a.因为而［丄‘IIn[n)是无穷小数列，所以（一1丫即liman=并一>8limfl+V£>0,BN>Q,3“A?〉N=>

23、(d”一a)-0

24、v£'',7证明若liman=a，贝'Jlimatl=a,举例说明反不成立./!—>8n—证：因为lima_-a>所以0£>