第二章数列极限习题解答

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1、第2章数列极限§2.1数列极限的概念一基本内容一、数列极限的定义limalt=A<=>>0,BN>（）,屮升>Nnalt-A在用e-N定义证明极限时有两种方法.1分析法由不等式

2、陽-4V£寻找/1与£的关系，从而求N的方法称为分析法.2综合法由仏-⑷经放人得到n的简易表达式，从而求出7V的方法称为综合法.【列发散的定义lima”Hao北）>0,7N>0,%（）>N,-a>£｛｝.n->oo叱数列｛a｝发散O0a,lima“Hai7n->oooVa,坯）>0,m叨（a,匂）外有｛%｝的无穷多项”

3、.三、无穷小数列数列｛色｝称为无穷小olim^=0.性质(1)无穷小的和差仍是无穷小；(2)无穷小的积仍是无穷小；(3)无穷小与有界量的积仍是无穷小;(1)lima”=ao(an-a)为无穷小."TOO二习题解答对卜-列£分别求出极限定义中相应的N,斫=0.1，勺=001，础=0.001;(2)对刍,6,5可找到相应的M这是否证明了色趋于0?应该怎样做才对？(3)对给定的是否只能找到一个N?解：(1)因为an-a=1»——0<—,所以n>—时，一a,nne故斫=0」时，N=20；02=001时,N=

4、200；=0.001时,W=2000.(2)对£SS可找到相应的N,这不能证明色趋于0•必页是0£>0,当n>N吋，””-0

5、<£,才能证明勺的极限为0.(3)因为lima”=0oV£>0,朵>0,刑,而+1时,亦有

6、陽_0

7、<£,故N的选取不唯一.2按w・N定义证明.(1)lim-^=l.—1V£,；7故lim=1.2n2-12证：因为证：因为2n2-l~24宀2v3n2+n2-2N时,取N=max3n2+n32a?2-1~2V£,故恤3"：+斤=2i2n2-12(3)lim—=0•

8、”->connflr证：因为£-0：123no,取当tt・n・nnn一0<£,故lim—=0•n->oofqn71(4)limsin-=0.H—>ooyi证：因为sin—-0=sin—<—,所以V£〉0,取川=n7171日，当心N71时，sin—-0<£,故limsin兰=0.nHTOCMn(5)lim——=0n->ooa"证：设a=l+h,(a>1).于是佶°=贝iJa〉l=>/2>0,且当”>2时，an=(1+h)n>*料(斤一1)/『，244J=——-—亍<亠所以V£>0

9、,取(/?-1)/厂(n+n-2)lrnh^N=max<2,4Vs£-0v£,故lim二=0.an3指出哪些是无穷小数列？⑴解：lim—.所以lim：==O.”卄yjn是无穷小数iyjn因为lim—=0(g>0),"T8列.⑵limV3.“T8解：因为lim丽=1(g〉1),所以limV3=1.ZtTOO解:>oolim—r•因为lim—=0(a>0),所以lim^-=O."TOOJ^a/t->0O"lim—."T83"故HI是无穷小数列.n解:因为limg"=0(Iqlvl),所以lim—=0.S

10、3"是无穷小数列.(5)lim—j=.解:因为limq"=0(Iqlvl),所以lim-^L=0・故7tT8”T8J?”是无穷小数列.limViO."TOO解：因为lim丽=1(tz>1),WlimV10=l.故｛也®非无穷小数列."TOOI丿II>84证明：若liman-a.则Xfk已N、，liman^k=a."TOO”T8证：因为linitzn=a，所以>0,3/V>0,?>N=>an-a<£,于是当n>N时，PkeN*,an+k-a

11、1为极限.n证：取勺严*,贝取§=N+1,数列不以1为极限.(2)数列加—叫发散.则丄-1证：PawR,q=0时，取£°=1,则VN>2,取n°=2N,则朮”-0=2N>f当dHO时，取％=1,则/N>lal,取%=2N,贝ij卅"-a>2N-a>N>1,并用此结论证明故数列发散.6证明数列仏”｝收敛于ao

12、陽-a

13、为无穷小数列lim<1I(-1)”"ToOlim*1+"—>00证：（=＞）设｛a｝收敛于a,贝ijhmafl=a,即即lima”=G.因为W1=丄,而＜T•是无穷小数列，所以W

14、->00nnn>0,37V>0,>Nan-a

15、^-a

16、=0,即0”-为无穷小数列.(u)设an-a为无穷小数列,则lim

17、a“-a

18、=0,于是0£>0,日">0,畀”>2=

19、仇一0)—0

20、<£=1•7证明若=a,贝>Jlim

21、«n=a，举例说明反不成立.证：因为lima“=a，所以V^>0,3^>0,m>N=>a“-ci<£,W->oo此时亦有1%I-laI

22、art=1