最速下降法求解线性代数方程组

《最速下降法求解线性代数方程组》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、《MATLAB语言及应用》大作业姓名：学号：学院：班级：题目编号：2013年10月13最速下降法求解线性代数方程组。最速下降法的数学理论从某个初始点X®出发，沿/(X)在点x(°)处的负梯度方向严=—巧(灯))"-卅求得/(X)的极小值点X⑴，即min/(X(0)+2r(0))2>07然后从X⑴出发，重复上而的过程得到X⑵。如此下去，得到序列｛X®/(x(0))>/(x(,))>...>/(x(A))可以证明，从任一初始点X®出发，用最速下降法所得到的序列｛X"')｝均收敛于问题使X最小化/(X)的解，也就是方程组AX=h的解。其收敛速度取决于牛二芈，其屮人，入分别为A的最小，最大

2、特征值。最速下降法迭代格式：给定血+人初值x(0),X⑹按如下方法决定：rM=-7f(X{k))=b-AXa)最速下降法的算法和流程图X(k+i)=x"')+W)算法:⑴任取^a(0)gRah,计算rA(0)=h-ArA(O)(2)对"0,1,2,…,计算a(k)=(rA(k),rA(k))/(A*rA(k),rA(k))xA(k+1)=xA(k)+a(k)*rA(k)rA(k+1)=b-A*xA(k+l)=rA(k)-a(k)*A*rA(k)若(

3、

4、"(k+l)

5、

6、/

7、

8、"(0)

9、

10、)VE,则输出x*二於伙+1),停止计算步骤：第1步选取初始点『，给定

11、终止误差£>0,令Z::=0；第2步计算V/(/),若llV/(/)ll<6-,停止迭代•输出《?・否则进行第三步;第3步第4步进行一维搜索，求使得/(/+tkpk)=minf(xk+tpk)令xM=xk+tkpk,k:*+l,转第2步。流程图:开始三、最速下降法的Matlab实现functionx=fsxsteep(f,e，a,b)%fsxstccp函数最速卜降法%x=fsxsteep(f,e,a,b)为输入函数f为函数e为允许误差(a,b)为初始点;xl=a;x2=b;Q=fsxhesse(f,x1,x2);xO=[xlx2]';fxl=diff(f/xr);%对xl求偏导数f

12、x2=diff(f,'x2');%对x2求偏导数g=

13、fxlfx2f;%梯度gl二subs(g)；%把符号变量转为数值d=-gl；while(abs(norm(g1))>=e)t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);t=(-d)'*d/((~d)'*Q*d);%求搜索方向xO二xO-l*gl;%搜索到的点v=xO;a=[l0]*x0;b=[0l]*xO;xl=a;x2=b;gl=subs(g);d=-gl；end;x=v;functionx=fsxhesse(f,a,b)%fsxhesse函数求函数的hesse矩阵；%本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵！；%x=fsxh

14、esse(f)为输入函数f为二次函数xl,x2为自变量；xl=a;x2=b;fx二diff(f,'xl');%求f对xl偏导数fy=diff(f,'x2');%求f对x2偏导数fxx二diff(fx,'xl');%求二阶偏导数对xl再对xlfxy=diff(fx,'x2');%求二阶偏导数对xl再对x2fyx二diff(fy,'xl');%求二阶偏导数对x2再对xlfyy=diff(fy,'x2');%求二阶偏导数对x2再对x2fxx=subs(fxx);%将符号变量转化为数值fxy=subs(fxy);fyx=subs(fyx);%求hesse矩阵fyy=subs(fyy);X=

15、[fxx,fxy;fyx,fyy];四、最速下降法的算例实现例:f=(x-2)A2+(y-4)A2M文件steel.m：function[R,nl=steel(xO,yO,eps)symsx;symsy;f=(x-2)A2+(y-4)A2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(l),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(l))A2+(T(2))A2);xl=xO;yl=yO;n=0;symskk;while(temp>eps)d=-T;fl二x1+kk*d(1);f2二y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),

16、x,f1),subs(j⑵,y,⑵];fun=sqrt((fT(1))A2+(fT(2))A2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);xO=xl+Mini*d(l);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))A2+(T(2))A2);xl=x0;yl=y0;n=n+l;endR=[x0,y0]»[R,n]=steel(0,1,0.0001)R二1.99999