最速下降法求解线性代数方程组.doc

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1、最速下降法求解线性代数方程组要求：对于给定的系数矩阵、右端项和初值，可以求解线性代数方程组一、最速下降法数学理论在基本迭代公式中，每次迭代搜索方向取为目标函数的负梯度方向，即，而每次迭代的步长取为最优步长，由此确定的算法称为最速下降法。为了求解问题，假定我们已经迭代了次，获得了第个迭代点。现在从出发，可选择的下降方法很多，一个非常自然的想法是沿最速下降方向（即负梯度方向)进行搜索应该是有利的，至少在邻近的范围内是这样。因此，去搜索方向为.为了使目标函数在搜索方向上获得最多的下降，沿进行一维搜索，由此

2、得到第个跌带点，即，其中步长因子按下式确定，.（1）显然，令就可以得到一个点列,其中是初始点，由计算者任意选定。当满足一定的条件时，由式（1）所产生的点列必收敛于的极小点。二、最速下降法的基本思想和迭代步骤已知目标函数及其梯度，终止限和.（1）选定初始点，计算；置.（2）作直线搜索：；计算.用终止准则检验是否满足：若满足，则打印最优解，结束；否则，置，转（2）（3）最速下降法算法流程图如图所示.结束终止准则满足？选定开始三、最速下降法的matlab实现function[x,n]=twostep(A,

3、b,x0,eps,varargin)%两步迭代法求线性方程组Ax=b的解ifnargin==3   eps=1.0e-6;   M=200;elseifnargin<3   error   returnelseifnargin==5   M=varargin{1};endD=diag(diag(A));   %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1);     %求A的下三角阵U=-triu(A,1);      %求A的上三角阵B1=(D-L)U;B2=(D-U)L;f1=(D-L)b;f2

4、=(D-U)b;x12=B1*x0+f1;x=B2*x12+f2;n=1;                 %迭代次数whilenorm(x-x0)>=eps   x0=x;   x12=B1*x0+f1;   x=B2*x12+f2;   n=n+1;   if(n>=M)       disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！');       return;   endendfunction[x,n]=fastdown(A,b,x0,eps)%最速下降法求线性方程组Ax=b的解i

5、f(nargin==3)   eps=1.0e-6;endx=x0;n=0;tol=1;while(tol>eps)                      %以下过程可参考算法流程   r=b-A*x0;   d=dot(r,r)/dot(A*r,r);   x=x0+d*r;   tol=norm(x-x0);   x0=x;   n=n+1;end四、最速下降法的算例实现A=[520;641;125];b=[1018-14]';eps=1.0e-6;x=-0.87507.1875-5.500

6、0k=60