用高斯消元法求解线性代数方程组.doc

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1、用高斯消元法求解线性代数方程组（X*是方程组的精确解）1高斯消去法1.1基本思想及计算过程高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。把方程（I）乘（）后加到方程（II）上去，把方程（I）乘（）后加到方程（III）上去，即可消去方程（II）、（III）中的x1，得同解方程组将方程（II）乘（）后加于方程（III），得同解方程组：由回代公式（3.5）得x3=2，x2=

2、8，x1=-13。下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将bi写成ai,n+1，i=1,2,…,n。（1-1）如果a11¹0，将第一个方程中x1的系数化为1，得其中，j=1,…,n+1（记，i=1,2,…,n;j=1,2,…,n+1）从其它n–1个方程中消x1，使它变成如下形式（1-2）其中，由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素起着重要的作用，特别地，把称为主元素。如果（1-2）中，则以为主元素，又可以把方程组（1-2）化为：（1-3）针对（1-3）继续消元，重复同样的手段，第k步所要加工的方程组是：设，第k步先使上述方程组中第k个方程

3、中xk的系数化为1：然后再从其它（n-k）个方程中消xk，消元公式为：(1-4)按照上述步骤进行n次后，将原方程组加工成下列形式：回代公式为：（1-5）综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组，再经回代过程求解。由于计算时不涉及xi,i=1,2,…,n，所以在存贮时可将方程组AX=b，写成增广矩阵（A,b）存贮。下面，我们统计一下高斯消去法的工作量；在（1-4）第一个式子中，每执行一次需要次除法，在（1-5）第二个式子中，每执行一次需要次除法。因此在消元过程中，共需要次乘作法。此外，回代过程共有次乘法。汇总在一起，

4、高斯消去法的计算量为：次乘除法。1.2基于VC的C语言程序#include#definen4/*n为方程组系数矩阵的阶数*/intGauss(floata[n][n],floatb[n]){inti,j,k,flag=1;floatt;for(i=0;i

5、k];}}}return(flag);}voidzg_matric(floata[n][n],floatb[n])/*输出增广矩阵*/{inti,j;for(i=0;i

6、floatx[n]={0,0,0,0};inti,j,flag;zg_matric(a,b);flag=Gauss(a,b);zg_matric(a,b);if(flag==0)/*无解*/printf("Gaussmethoddosenotrun.");else/*回带过程开始*/{x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){x[i]=b[i];for(j=i+1;j

7、的解*/printf("x%d=%11.7f",i+1,x[i]);}}1.3运行结果图