[业务]用高斯消元法求解线性代数方程组

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1、用高斯消元法求解线性代数方程组_1115-4_13_T-2823兀211X*=13-2104兀315113-217__^4_19丄（X*是方程组的精确解）1咼斯消去法1.1基本思想及计算过程高斯（Gauss）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基木思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例來说明高斯消去法的基本思想。2%)+3x2+4x3=6(I)<3x,+5x2+2x3=5(II)4x)+3x2+30x3=32(III)把方程⑴乘（弓

2、）后加到方程5）匕去，把方程⑴乘（弓）后加到方程（山）上去,即可消去方程（II）、（III）中的"得同解方程组2兀］+3兀2+4巾=6(I)<0.5x2-4x3=-4(II)-3x2+22x3=2Q(III)将方程（H）乘（倉后加于方程（IH）,得同解方程纽厂2兀］+3x2+4兀3=6(D0.5x2一4x3=-4(H)—2兀3=-4(III)由回代公式（3.5）得兀3=2,兀2=&兀1=・13。下而考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将伤写成％,“+】，/=!,2,..丿。51兀1+%兀2+绚3心+…+仏£=%+1(1-1)內+a22

3、x2+a23x3+…+a2nxn=a2t)+l•••••••••比內+①2兀2+色3兀3+…+=碍曲如果如严0,将第一个方程中"的系数化为1,得坷+碣）兀2+•••+/；）£=4,2+1其中Q；；)=，丿•=1,…,“+1(记=a{j,/=1,2,...»nj=1,2,...,«+1)从其它n-1个方程中消xp使它变成如卜•形式“+啪勺+…+此比=%(1-2)其中砒）7=2,3,…屮+1由方程（1-1）到（1・2）的过程中，元素Q"起着垂要的作用，特别地，把Q"称为主元素。如果（1-2）中於;）H0,则以碍）为主元素，乂可以把方程组（1-2）化

4、为：(1-3)坷+血）兀2+…+d曲=吧+1勺+醞比+…+於纸”=42+1z/（2）丄“（2）y⑶a33X3++幺3舁心_°3,卄1■々⑵丫丄丄"⑵__（2）an3兀3+・・・+d肋兀〃_a〃,+i针对（1・3）继续消元，重复同样的手段，笫k步所耍加工的方程组是:+d⑴兀=/)十aXn~aM^+d⑵兀一4⑵十U2nAn_U2,h+1Xj+a；J兀2+Q；?兀3+…x2+兀3+••.v丄。伙j)Y丄丄"伙T)y_c(*T)兀-1+d—lXkaknXn~+1akkXk+•••+%耳一%卄］此％+•••+此％=盅1设忒7工0,第£步先使上述方程

5、组中第k个方程中心的系数化为1:无+42+Z+…唸X=akL然后再从其它5个方程中消不，消元公式为:严)硝=希(1-4)ukk铲)-応7・硝)/=k+1,…，斤+1i=£+1,…〃按照上述步骤进行〃次示，将原方程组加工成下列形式:回代公式为:“+a^x2+咄＞兀3+…+必“”一a⑴_S+1一a(2)~a2.n+lX7+兀3+…+a22nXnSi+廟J一Cln-l,n+lx“=ann,n+l叱+1-t/Zk=n-1,…」j=k+Xn(1-5)综上所述，高斯消去法分为消元过程与回代过程，消元过程将所给方程组加工成上三角形方程组，再经回代过程求解。由

6、于计算时不涉及冷心1,2,…,弘所以在存贮吋可将方程组AX=b,写成增广矩阵（A,b)存贮。我们统计一下高斯消去法的工作量；在(1-4)第一个式子中，每执行一次需要n-(n-k)次除法，在(1-5)第二个式子小，每执行一次需要[n-(k-)]x(n-k)次除法。因此在消元过程中,共需要n工-R+1)X(〃-R)+(〃-R+1)]I)2=-n(n+l)(27?+l)6"1+次乘作法。此外，回代过程共有£s_k)=#s_i)k=2次乘法。汇总在一起，高斯消去法的计算量为:77c捫+3—1)次乘除法。1.2基于VC的C语言程序/*n为方程组系数短阵

7、的阶数*/#include#definen4intGauss(floata[n][n],floatb[n]){inti,j,k,flag=l;floatt;for(i=0;i

8、(floata[n][n],floatb[n]){for(i=0;i