基于邻域的粗糙集近似【毕业论文+开题报告+文献综述】

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本科毕业论文开题报告信息与计算科学基于邻域的粗糙集近似一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义粗糙集理论作为一种数据分析处理理论,由波兰科学家Z.Pawlak于1982年所创立.自20世纪90年代起,该理论日益受到重视,并成为国际信息科学的研究热点之一.它是经典集合理论的扩展,是一种处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息有效的新型数学工具,是一种天然的数据挖掘或者说是知识发现方法.由于实际需求中的数据分类、数据挖掘、概念形成等的不充分和不完备,人们主观对各个认识领域中的信息、知识大都也是不精确的,这种知识、信息的不确定性就要求在知识的表示、处理时能够反映出这种不确定性.因此,这套理论得以开发,同时也非常成功的应用于人工智能领域,例如人工智能、模式识别与智能信息处理等计算机领域.粗糙集理论不继续用确定的集合边界,它的基础是分类机制,将分类理解为在空间上的等价关系.这个理论与概率论,模糊数学和证据理论等理论有很强的互补性.它的基本要素是近似空间,由近似空间可以导出粗糙集理论中一对基本概念:下近似算子和上近似算子.下近似算子是所有在给定集合的等价类中子集的元素,而上近似算子是所有在给定集合的等价类中具有非空交集的元素.每一个集合都能够定义上近似和下近似,再由集合的上、下近似就可以刻画出集合中可用信息的非数值属性.对于不同的二元关系,可以得到不同的近似空间,其导出的近似算子性质也各不相同.在Pawlak的粗糙集合模型中,等价关系是必要条件.等价关系可以看成是Pawlak的粗糙集合模型中的核心思想.粗糙集理论的主导思想是保持分辨能力不变的情况下,通过知识约简得出问题的决策和分类方法.对于分类,可以找到不确定数据或者噪声数据内在结构;对于特征归约,23 可以用来识别、删除给定数据的属性;对于分析,可以根据分类而评估出每个属性的意义或贡献.论域中的元素都与论域中的一族子集相对应,这一族子集就称为元素的邻域,并且族中的每一个系统都被称为元素的邻域.二元关系中建立的模糊集合理论,进而就相关到对应的邻域系统中.关于这个话题的一个重要研究,YYYao有所阐述,他为研究邻域算子系统和由二元关系建立的模糊集合算子给出了通用框架和原始概念.由于Z.Pawlak的理论存在一定的局限性,比如当属性过多时,对论域的划分的过多而产生过多的规则;不能处理同时具有不同性质的元素等.粗糙集理论的一个主要研究方向推广Pawlak的粗糙集近似.目前主要有构造性方法和代数性方法.近来也有许多研究者开始推广近似算子概念在非等价关系中的应用.主要的方发展向有的从一般关系出发,有的则从邻域算子的观点出发.本文主要进行了基于邻域算子系统的粗糙近似算子系统的研究,提出了步邻域的概念和粗糙集近似.首先,介绍了二元关系基本概念和性质,导出了六种不同的关系,再由它们导出六个邻域系统.然后,从二元关系关系出发,结合粗糙近似算子系统,同样导出了六种不同族的关系,并且再由它们的关系导出了六个相应的粗糙近似算子系统.最后讨论了粗糙近似算子系统的性质,得到了二元关系和步近似算子的等价刻画.二、研究的基本内容,拟解决的主要问题研究的基本内容:粗糙集上的近似算子及领域关系.解决的主要问题:1.二元关系及其导出的邻域算子的性质;2.粗糙邻域算子的性质及其导出的邻域系统之间的关系.三、研究步骤、方法及措施研究步骤:1.查阅收集相关资料;2.翻译英文资料,修改英文翻译;3.仔细阅读并研究文献资料,撰写文献综述;4.在老师指导下,确定整个论文的思路,列出论文提纲;5.开题报告通过后,撰写毕业论文初稿;6.上交论文初稿;7.反复修改论文;23 8.论文定稿.方法、措施:通过到图书馆、上网等查阅收集资料,参考相关内容.在老师指导下,归纳整理各类问题.与同组同学研究讨论,用数据调查结合文献论证的方法来解决问题.四、参考文献[1]PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofComputerandInformationScience,1982;11:341~356.[2]ChanCC.Aroughsetapproachtoattributegeneralizationindatamining[J].JournalofInformationSciences,1998,107:169~176.[3]张文修,吴伟志.粗糙集理论介绍和研究综述[J].模糊系统与数学,2000,14(04):1~12.[4]徐优红.二元关系的复合与近似算子的合成[J].计算机科学,2009,36(2):194~198.[5]张文修,吴伟志,梁吉业,李德玉.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.[6]徐优红,杨晓平.欧几里得模糊关系[J].河北师范大学学报(自然科学版),2003,27(3):32~41.[7]杨富平,莫智文.粗糙集中的近似精确问题[J].四川师范大学学报(自然科学版),2004,27(2):155~159.张文修,王国俊,刘旺金,方锦暄.模糊数学引论[M].西安:西安交通大学出版社,1991.23 毕业设计文献综述信息与计算科学基于邻域的粗糙集近似粗糙集理论作为一种数据分析处理理论,由波兰科学家Z.Pawlak于1982年所创立,它是经典集合理论的扩展,是继概率论、模糊集、证据理论之后一种处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息的有效新型数学工具,是一种天然的数据挖掘、知识发现方法.作为一种较新的计算方法,粗糙集近年来越来越受到重视,已在许多科学与工程领域的成功应用中得到证实,是当前国际上人工智能理论及其应用领域中的研究热点之一.在自然科学、社会科学、工程技术等很多领域中,都有不同程度地涉及到对不确定因素和对不完备信息的处理.实际系统中采集到的数据常常包含着噪声,不够精确甚至不完整.采用纯数学上的假设来消除、回避这种不确定性,效果往往不理想,反之,如果正视它,对这些信息进行合适地处理,常常有助于相关实际系统问题的解决.多年来,研究人员一直在努力寻找科学地处理不完整性和不确定性的有效途径.模糊集和基于概率方法的证据理论是处理不确定信息的两种方法,已应用于一些实际领域.但这些方法有时需要一些数据的附加信息或先验知识,如模糊隶属函数,基本概率指派函数和有关统计概率分布等,而这些信息有时并不容易得到.1982年,波兰学者Z.Pawlak提出了粗糙集理论,它是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具,能有效地分析不精确、不一致、不完整等各种不完备的信息,还可以对数据进行分析和推理,从中发现隐含的知识,揭示潜在的规律.粗糙集理论是建立在分类机制的基础上的,它将分类理解为在特定空间上的等价关系,而等价关系构成了对该空间的划分.粗糙集理论将知识理解为对数据的划分.粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库,将不精确或不确定的知识用在已知的知识库中的知识经行近似刻画.该理论与其他处理不确定和不精确问题理论的最显著的区别是它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信息,所以对问题的不确定性的描述或处理可以说是比较客观的,由于这个理论未能包含处理不精确或不确定原始数据的机制,所以这个理论与概率论、模糊数学和证据理论等其他处理不确定或不精确问题的理论有很强的互补性.23 粗糙集能有效地处理下列问题:不确定或不精确知识的表达;经验学习并从经验中获取知识;不一致信息的分析;根据不确定,不完整的知识进行推理;在保留信息的前提下进行数据化简;近似模式分类;识别并评估数据之间的依赖关系.粗糙集理论的主导思想是保持分类能力不变的情况下,通过知识约简得出问题的决策和分类方法.对于分类,可以找到不确定数据或者噪声数据内在结构;对于特征归约,可以用来识别、删除给定数据的属性;对于分析,可以根据分类而评估出每个属性的意义或贡献.由于Z.Pawlak的理论存在一定的局限性,比如当属性过多时,对论域的不可分辨划分的过多多少而产生过多的规则;不能处理同时具有不同重要性的元素等.因此,对其的扩展一直是粗糙集研究的重要方向,目前主要有构造性方法和代数性方法.目前,很多学者已经对这个问题进行了一些研究,得到了不同于Pawlak的粗糙集合模型.当知识模块是清晰(近似空间为经典二元等价关系)而被近似的概念是一个模糊的时,可以得到粗糙模糊集;当知识模块是模糊(近似空间为模糊二元等价关系)而被近似的概念是经典集时,则可得到模糊粗糙集.因此,粗糙集理论的一个主要研究方向通过Pawlak的粗糙集合近似化得而推广.本文主要进行了基于邻域算子系统的粗糙近似算子系统的研究,提出了步邻域的概念和粗糙集近似.首先,介绍了二元关系基本概念和性质,导出了六种不同的关系,再由它们导出六个邻域系统.然后,从二元关系关系出发,结合粗糙近似算子系统,同样导出了六种不同族的关系,并且再由它们的关系导出了六个相应的粗糙近似算子系统.最后讨论了粗糙近似算子系统的性质,得到了二元关系和步近似算子的等价刻画.23 参考文献[1]PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofComputerandInformationScience,1982,11:341~356.[2]ChanCC.Aroughsetapproachtoattributegeneralizationindatamining[J].JournalofInformationSciences,1998,107:169~176.[3]张文修,吴伟志.粗糙集理论介绍和研究综述[J].模糊系统与数学,2000,14(04):1~12.[4]LinTY.Neighborhoodsystemsandrelationaldatabase[C],In:ProceedingsofCSC’88,1988.[5]徐优红.二元关系的复合与近似算子的合成[J].计算机科学,2009,36(2):194~198.[6]张文修,吴伟志,梁吉业,李德玉.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.[7]徐优红,杨晓平.欧几里得模糊关系[J].河北师范大学学报(自然科学版),2003,27(3):32~41.[8]徐优红.模糊环境下粗糙近似算子的表示[J].工程数学学报,2003,20(01):99~103.[9]杨晓平.邻域系统与步粗糙模糊集[J].工程数学学报,2004,21(05):829~832.[10]杨富平,莫智文.粗糙集中的近似精确问题[J].四川师范大学学报(自然科学版),2004,27(2):155~159.[11]张文修,王国俊,刘旺金,方锦暄.模糊数学引论[M].西安:西安交通大学出版社,1991.23 本科毕业论文（20届）基于邻域的粗糙集近似23 摘要粗糙集理论作为一种数据分析处理理论,是经典集合理论的扩展.本文主要研究基于邻域算子系统的粗糙集近似.首先,介绍邻域算子与二元关系的基本概念,研究邻域算子和二元关系的联系,并给出串行、逆串行、自反、对称、传递和欧几里得等具有特殊性质的邻域算子的定义.其次,定义基于邻域算子的粗糙近似算子,研究基于邻域算子的粗糙近似算子的性质.并且证明了可以用粗糙近似算子的性质去刻画对应邻域算子的性质.最后,讨论了粗糙近似算子系统精度的比较.关键词:二元关系;邻域;粗糙集;近似算子23 AbstractThetheoryofroughsetisanextensionofclassicalsettheory.Inthisthesis,wemainlystudythenotionsoftheneighborhoodoperatorsystemsandroughsetapproximations.Somebasicnotionsofneighborhoodoperatorsandclassicalbinaryrelationsarefirstreviewed.Connectionsbetweenneighborhoodoperatorsandclassicalbinaryrelationsarealsopresented.Andneighborhoodoperatorshavingspecialpropertiessuchasserial,inverseserial,reflexive,symmetric,transitive,andEuclideanneighborhoodoperators,arerespectivedefined.Roughsetapproximationsbasedonneighborhoodoperatorsarethendefinedandtheirpropertiesareexamined.Itisalsoprovedthatthepropertiesofneighborhoodoperatorscanbecharacterizedbythepropertiesofneighborhood-systems-basedroughapproximationoperators.Finally,wegiveacomparativestudyontheaccuraciesofroughsetapproximationscorrespondingtoneighborhoodoperatorsystems.Keywords:Binaryrelations;Neighborhoodsystems;Roughsets;Approximations23 目录摘要IIAbstractIII1前言11.1近似算子的由来及发展11.2论文的组织结构12二元关系及其邻域算子32.1二元关系的基本性质32.2二元关系导出的步关系32.3二元关系上的邻域算子的基本性质82.4二元关系导出邻域算子的步关系83粗糙集及其邻域算子133.1粗糙集近似算子的定义133.2近似算子的基本性质133.3特殊的近似算子173.4步邻域粗糙集的精度比较214小结23参考文献24致谢2523 1前言1.1近似算子的由来及发展粗糙集理论作为一种数据分析处理理论,由波兰科学家Z.Pawlak于1982年所创立,自20世纪90年代起,该理论日益受到重视,并成为国际信息科学的研究热点之一.它是经典集合理论的扩展,是继概率论、模糊集、证据理论之后一种处理不精确、不一致、不完整等各种不完备的信息的有效新型数学工具.由于实际需求中的数据分类、数据挖掘、概念形成等的不充分和不完备,人们主观对各个认识邻域中的信息、知识大都也是不精确的,这种知识、信息的不确定性就要求在知识的表示、处理时能够反映出这种不确定性.作为一种较新的计算方法,粗糙集近年来越来越受到重视,已在许多科学与工程邻域的成功应用中得到证实,是当前国际上人工智能理论及其应用邻域中的研究热点之一.粗糙集理论不继续用确定的集合边界,它的基础是分类机制,将分类理解为在空间上的等价关系.这个理论与概率论,模糊数学和证据理论等理论有很强的互补性.它的基本要素是近似空间,由这个近似空间可以导出粗糙集理论中一对基本概念:下近似算子和上近似算子.对于不同的二元关系,可以得到不同的近似空间,其导出的近似算子性质也各不相同.在Pawlak的粗糙集模型中,邻域中的元素可以用可利用的信息来描述.当两个不同的元素是有相同的描述时,就说明这两个元素是不可区分的.所有具有相同描述的元素构成了一个等价类,而所有的等价类就构成了对论域的划分.单一的邻域中的任意子集,不能够精确描述它所具有的实用信息,即邻域里等价关系中的等价类.然而,近似算子的概念则能说明.等价关系可以看成是Pawlak的粗糙集合模型中的核心思想,但也同时限制着它的发展.粗糙集理论的发展一个值得探讨的问题.事实上,很多学者已经对这个问题进行了一些研究,得到了不同于Pawlak的粗糙集合模型.当知识模块是清晰(近似空间为经典二元等价关系)而被近似的概念是一个模糊的时,可以得到粗糙模糊集;当知识模块是模糊(近似空间为模糊二元等价关系)而被近似的概念是经典集时,则可得到模糊粗糙集.因此,粗糙集理论的一个主要研究方向通过Pawlak的粗糙集近似化得而推广.也有许多研究者开始推广近似算子概念在非等价关系中的应用.主要的方发展向有的从一般关系出发,23 有的则从邻域算子的观点出发.1.2论文的组织结构本文主要进行了基于邻域算子系统的粗糙近似算子系统的研究,提出了步邻域的概念和粗糙集近似.首先,介绍了二元关系基本概念和性质,导出了六种不同的关系,再由它们导出六个邻域系统.然后,从二元关系关系出发,结合粗糙近似算子系统,同样导出了六种不同族的关系,并且再由它们的关系导出了六个相应的粗糙近似算子系统.最后讨论了粗糙近似算子系统的性质,得到了二元关系和步近似算子的等价刻画.23 2二元关系及其邻域算子2.1二元关系的基本性质定义2.1设是一个有限的非空集合,当基数时,被称作是一个论域.定义2.2如果是笛卡尔积上的一个子集,那么是在上的二元关系.当时,记作.(1)如果对于任意的存在使得,那么称是串行的;(2)如果对任意的存在使得,那么称是逆串行的;(3)如果对任意的都有,那么称是自反的;(4)如果对任意的,都有蕴涵,那么称是对称的;(5)如果对任意的,,,都有,蕴涵,那么称是传递的;(6)如果对任意的,,,都有,蕴涵,那么称是欧几里得;(7)如果是自反、对称和传递的,那么称是等价的.2.2二元关系导出的步关系定义2.3对于一个上的任意二元关系和正整数,定义的-步关系如下,存在,,,,1,使得,,,,.很容易得到存在,,,,使得,,,.显然,,当任意的时,有.事实上,就是的传递闭包.当然,是传递的.有了这些性质,我们能够导出以下三个关系23 ,,.显然,和是对称的,且,.介于这个特殊的二元关系和它所产生的步关系,能够得到以下这些定理.定理2.1假设是上的任意一个二元关系,则(1)若是串行的,则对于所有的,是串行的;(2)若是逆串行的,则对于所有的,是逆串行的;(3)若是自反的,则对于所有的,是自反的;(4)若是对称的,则对于所有的,是对称的;(5)若是传递的,则对于所有的且,是传递的;(6)若是欧几里得的,则对于所有的,是欧几里得的.证明(1)因为是串行的,则有对于任意的存在使得,又有存在,,,,1,使得,,,,所以是串行的.(2)-(5)同理可得.(6)设是欧几里得的,先证也是欧几里得的.设对于任意的,满足,从而存在,使得或,,或,.(a)假设且,由是欧几里得的,知,则由定义得.(b)假设且,,结合和得.再结合和得23 ,于是得.(c)假设,且,类似(b)可得.(d)假设,且,.结合和得.再结合和得,这样由和得,即.由上述(a),(b),(c),(d)得,即是欧几里得的.从而由定义可以得到是欧几里得的.定理2.2如果一个上的二元关系是串行且对称的,那么是等价的.证明由于是串行的,由定理2.1得,也是串行的.对于任意的,存在使得.又由是对称的得也是对称的,从而就有.再由是传递的,得到即是自反的.所以是自反的,对称的,传递的,即是等价的.定理2.3假设和是两个在上的二元关系,则(1);(2)对于任意的都有.证明(1)由定义可以直接得到;(2)设,则存在,,使得,,,或,即,,,或,.由定义得,即,等价地,,从而有.反之,若即,则存在,使得,,,或.也就是说,,,,或,.由定义得,即,从而有.则(2)成立.现在,我们记.因此,对于一个上的二元关系,能够导出三个关系,和,这三个关系又可以导出四个步关系：,,23 和.结合和,得到和.所以,基于,就有如下六族关系序列,,,,和.定理2.4设是上任意一个二元关系,则(1),;(2),.证明(1)若任意的,则存在使得,,,或,由得,,,或,从而由定义得.同样的有,从而有,这样就有,即,于是有,则对于任意的,即或:(a)如果,那么存在使得,,,或.由于,因此有,,…,或,即.(b)如果,同样可以推得.这样便有.所以有.(2)由,,,都是对称的,则,,,.从而利用(1)即可得到(2).当是对称的时,在定理2.4中的所有包含关系都能替换成等号“”.但一般情况下是不成立的,是真包含关系,如例2.1.例2.1设且.则得到,且23 .根据以上关系得到表2.1.“”表示才成立.表2.1二元关系及其导出的关系任意对称传递对称传递传递传递对称对称传递串行串行逆串行串行且逆串行串行且逆串行逆串行逆串行串行串行且逆串行串行且逆串行自反自反自反自反自反自反自反对称对称对称对称对称对称对称传递传递传递传递传递传递欧几里得欧几里得欧几里得欧几里得定理2.5设是上的任意一个二元关系,当时,都有是对称且传递的.证明,即且,所以是对称的.又有,则有存在,,,,,使得,,,,存在,,,,,使得,,,,所以是传递的.2.3二元关系上的邻域算子的基本性质定义2.4设是一个有限非空论域,且.对于任意的,都有中的一个子集与其对应,则称为为的一个邻域.的邻域可能包含或者不包含.定义2.5当是全集的幂集时,映射称作上的一个邻域算子.(1)如果对任意的存在使得,即任意的,,那么称是串行的;23 (2)如果对任意的存在使得,即,那么称是逆串行的;(3)如果对任意的,,那么称是自反的;(4)如果对任意的,,蕴涵,那么称是对称的;(5)如果对任意的,,,,蕴涵,那么称是传递的;(6)如果对任意的,,,,蕴涵,那么称是欧几里得的;(7)如果自反、对称和传递的,那么称是等价的.通过这些特殊性质的合成,能够刻画出许多不同的邻域系统.如果一个邻域算子是自反,对称且传递的,则称它为Pawlak邻域算子.它可以等价地用自反性和欧几里得性来刻画.2.4二元关系导出邻域算子的步关系对于上的一个邻域算子,能够延拓为从到的邻域为.现在我们导出二元关系的邻域系统.定义2.6设是上的一个二元关系.对于任意的,和,如果,那么对于有关系,称是的前继,是的后继.我们可以得到邻域中的后继（前继,前继且后继,前继且后继,前继或后继,前继或后继）邻域,分别记为(,,,,);;且,且,(2.1)23 或,或.设是上的一个二元关系,则得到关于每个都有六个邻域系统为,,,,,.(2.2)以上每个的邻域系统都关于单调递增.对于任意两个和,都能得到对于所有的,对于所有的,.同理可得.(2.3)定理2.6设是上的一个二元关系,则(1),;(2),.证明(1)因为有,,,,则类似于定理2.4,所以当时有,.同理可得(2).当是对称时,这些包含关系都能替换成等式.同样我们可以得到一个二元关系及其导出的邻域系统之间的关系,如表2.2.23 表2.2二元关系及其导出的邻域系统之间的关系任意对称传递对称传递传递传递对称对称传递串行串行逆串行串行且逆串行串行且逆串行逆串行逆串行串行串行且逆串行串行且逆串行自反自反自反自反自反自反自反对称对称对称对称对称对称对称传递传递传递传递传递传递欧几里得性欧几里得性欧几里得性欧几里得性定理2.7设是上的一个二元关系,对于任意的,当,时有,.(2.4)进一步,如果是欧几里得的,那么当,时有,.(2.5)证明(2.4)式根据定义可直接得出.我们下面证明(2.5)式.根据(2.4)式,只需要证明,(2.6)即可.我们用数学归纳法证明.首先,当和任意的,得到.(2.7)当时,有.因此只须验证,则(2.7)式成立.对于任意,由是欧几里得的和(2.3)式,得到.(2.8)这时当时,(2.7)式成立.23 假设(2.7)式对于所有的都成立,.当时,由对于任意的,即都存在,,,,,使得,,,或者.我们需要考虑以下三种可能的情况.(1)若,,,,且,则很容易得到且,这种情况下,利用(2.3)式,我们得到,即(2.7)式成立.(2)若,,且,则由归纳法和(2.3)式,有,即(2.7)式成立.(3)若即,则由(2.8)式和(2.3)式得,即(2.7)式成立.综合(1),(2),(3),我们可以得到当时有(2.7)式成立.所以由数学归纳法得对于所有都有(2.7)式成立.下面对进行归纳.当时,由(2.7)式得(2.6)式成立.假设(2.6)式对于所有的都成立.当时,对于任意的,都存在,,,,,使得,,,,或者.(4)如果,,,且,那么可得且,23 从而有.(5)若,,,且,则,由归纳得到.(6)如果,那么我们根据(2.8)式和(2.3)式得到.综合(4),(5),(6),得知(2.6)式对于也成立.则由数学归纳法得对于任意的,都成立,于是(2.5)式成立.23 3粗糙集及其邻域算子3.1粗糙集近似算子的定义下面,我们将推广基于步邻域系统的Pawlak的近似算子.定义3.1设是论域上任意的一个等价二元关系,即是自反的,对称的和传递的,则这一对被称作Pawlak近似空间.定义3.2对于任意的,关于近似空间的下近似和上近似分别定义为;.其中是包含的等价类.推广Pawlak近似算子,我们可能需要用不同的邻域算子去定义特别的近似算子.定义3.3设是一个邻域算子且为的邻域,则对于任意的,我们定义一对上下近似;.这对近似算子,视作推广的Pawlak近似算子.我们称系统(,,,~,,)为邻域粗糙集代数.3.2近似算子的基本性质对于一个邻域算子,它的一对近似算子满足以下性质：对于任意的,(A0),(B0);23 (A1),(B1);(A2),(B2);(A3),(B3);(A4),(B4);(A5),(B5).根据(A0)和(B0)可得近似算子,是对偶的.其实相同标号的性质都是具有对偶性的.对于特殊的二元关系生成的邻域算子还满足以下的性质：定理3.1若是串行的,对于任意的,则有(AB6).证明对于任意的,由定义有,由是串行的,可得,因此,即有,即.定理3.2若是逆串行的,对于任意的,则有(B7)对于任意的,.证明由于是逆串行的当且仅当对于任意的,有,则可由(3.1)和定义可得是逆串行.23 定理3.3若是自反的,对于任意的,则有(A8),(B8).证明(A8)设,由定义得,由于是自反的,则有,即;(B8)对于任意的,由(A0)可得,则可得.定理3.4若是对称的,对于任意的,则有(A9),(B9).证明(A9)对于任意的和,由是对称的,因此,于是有,即说明,由上近似的定义得.由得,再由下近似的定义,即.(B9)由(B0)直接可得.定理3.5若是传递的,对于任意的,则有(A10),(B10).证明(A10)对于任意的,由定义可得.对于任意的,由的传递性可得,从而.由上近似的定义得,由得,这样就有,即.23 (B10)由(B0)直接可得.定理3.6若是欧几里得的,任意的,则有(A11),(B11).证明(A11)设,由上近似的定义得.对于任意,由是欧几里得的,得,结合,可得.由上近似的定义知,再由得.从而由下近似的定义可知.即.(B11)由(B0)直接可得.设是一个论域,基数为,是上的任意一个二元关系,对于任意且,我们能够定义以下六对近似算子(DA1),;(DA2),;(DA3),;(DA4),;(DA5),;(DA6),.推论3.1假设和是两个在论域上的邻域算子且,则对于任意的,有,则有(A12),,(B12),.23 证明对于每个,根据定义可得,则,也就是说,所以(A12)成立.同理可得(B12).通过推论3.1和定理2.5,我们得到近似算子之间的关系.定理3.7设是论域上任意的一个二元关系,对于任意的且所有的都有(AAk),.(BAk),.(Ak),(Bk).其中(Ak)和(Bk)中的近似算子是指定义(DA1)~(DA6)中的任意一对.证明(AAk)因为它们分别可以表示为,,,,,则可由定理2.6得.其它同理可得.3.3特殊的近似算子对于Pawlak的近似算子来说,由于是等价关系.因此在这种情况中所有(2.1)23 中的邻域系统都是相同的,即.因此,定义(DA1)-(DA6)不但对于某个固定等价,而且对于不同的也是等价的,即对于任意实数都是等价的.然而,即使是对称的,仍可得到不同对的近似算子.它们满足对偶质性的(Ak)和(Bk).如果不是对称的,那么可以得到不同族的近似算子系统.它们之间的关系满足基本关系(AAk)和(BAk).定理3.8设是上的一个二元关系.如果是对称的,那么对于所有的和,有,.证明对于任意,如果,则可得,对于这种情况,成立.现在我们假设.对于任意的,由是对称的,则,这就意味着.因此,由上近似的定义和推理3.1,可得.从而,于是由下近似的定义可得,则成立.对于任意的,由上近似的定义可得23 ,从而存在使得.又由的对称性以及下近似的定义,可得且.因此,当时,有.因此成立.定理3.9设是上的一个二元关系,对于任意的和,则有,.更进一步,如果是欧几里得的,则(A13),(B13).证明对于任意的,由下近似的定义得.由(2.4)式可得,再由下近似的定义得,即,所以成立.对于任意的,由上近似的定义得.取,使得,由上近似算子的定义得.结合和定理2.6,可得.23 因此,得到,从而由上近似的定义得.所以成立.现在我们假设是欧几里得的.对于任意的,由下近似定义得.这就是说对于任意的,从而有.再由定理2.6可得,于是由下近似的定义得.这样我们就有,(3.2)结合、(3.2)式可得(A13).对于任意的,由上近似的定义得.从而存在,使得.由定理2.6得.于是存在使得,且,即.又由,可得,即.(3.3)结合和(3.3)式,(B13)成立.定理3.10设是上任意的一个二元关系,如果是欧几里得的,对于任意的和,那么有,.证明对于任意的,由上近似的定义有.对于任意的,由的欧几里得可得.因此23 .再由上近似的定义和推论3.1,得到,这蕴含.从有而.因此由下近似的定义得,由的任意性得成立.对于任意的,由上近似的定义和推论3.1,得.取任意的使得,则由的欧几里得性和下近似的定义可得和.由于,则,由下近似的定义得,从而由的任意性得成立.如果我们取,则、则分别退化为为(A11)、(B11),这样、便推广了(A11)、(B11).3.4步邻域粗糙集的精度比较为了描述一个集合被近似空间近似的精确程度,Pawlak引入了在上的近似精度的概念,即,.我们假设是自反的,则由导出的所有邻域算子都是自反的.令为由导出的六个邻域算子系统中任意的一个,记是其对应的近似空间,表示为第步可利用的信息,从而由(A8)和(B8)得对应的近似算子和满足以下性质：,,.因此.进而由(Ak)和(Bk)可得,当任意的时,有.(3.4)23 (3.4)式表明近似精度是关于单调递减的,即随着的增加,关于第步可利用信息的描述越来越不精确或者越来越粗糙.23 4小结本文中,主要进行了基于邻域算子系统的粗糙近似算子系统的研究,提出了步邻域的概念和粗糙集近似.首先,介绍了二元关系基本概念和性质,导出了六种不同的关系,再由它们导出六个邻域系统.然后,从二元关系关系出发,结合粗糙近似算子系统,同样导出了六种不同族的关系,并且再由它们的关系导出了六个相应的粗糙近似算子系统.最后讨论了粗糙近似算子系统的性质,得到了二元关系和步近似算子的等价刻画.本文中,给出了真正意义下的邻域系统和步近似算子的概念,为传统粗糙集只应用于一步关系近似向多步关系近似的发展迈出了实质性的一步.为粗糙集在人工智能近似推理的应用提供了更加广阔的前景.23 参考文献[1]PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofComputerandInformationScience,1982;11:341~356.[2]ChanCC.Aroughsetapproachtoattributegeneralizationindatamining[J].JournalofInformationSciences,1998,107:169~176.[3]张文修,吴伟志.粗糙集理论介绍和研究综述[J].模糊系统与数学,2000,14(04):1~12.[4]LinTY.Neighborhoodsystemsandrelationaldatabase[C],In:ProceedingsofCSC’88,1988.[5]徐优红.二元关系的复合与近似算子的合成[J].计算机科学,2009,36(2):194~198.[6]张文修,吴伟志,梁吉业,李德玉.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.[7]徐优红,杨晓平.欧几里得模糊关系[J].河北师范大学学报(自然科学版),2003,27(3):32~41.[8]徐优红.模糊环境下粗糙近似算子的表示[J].工程数学学报,2003,20(01):99~103.[9]杨晓平.邻域系统与步粗糙模糊集[J].工程数学学报,2004,21(05):829~832.[10]杨富平,莫智文.粗糙集中的近似精确问题[J].四川师范大学学报(自然科学版),2004,27(2):155~159.[11]张文修,王国俊,刘旺金,方锦暄.模糊数学引论[M].西安:西安交通大学出版社,1991.23