大连理工大学《工科数学分析基础》第二章复习

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1、第二章复习X.l各类导数的求法复合函数微分法包=空更dxdudx‘3兀-2、<3x+2>,/x)=arcsinx2,求空dxA=()=arcsin3兀-2丫3x+2丿12(3兀+2尸于是dydx3=(arcsin1)・3=—龙x=o2参数方程微分法fdxdydy-dt_/(Od~y_x，(0/(0一yt)x(r)dx_/(/)dx1dt[V(0]3,英屮f⑴的三阶导数存在，且f”⑴H0,求乞，axdx~dx解dy二血）二厂⑴+（T（/）-广⑴二£dxxt）ft）d(dyd2yd■■Idx~dxdtdx)_1dtdx‘d

2、xIdx1]d3y_d(d2y_dtydx1)_/^(r)r（t）r3（odxIt隐函数微分法1对方程两边求导，要记住y是兀的函数，则y的函数是兀的复合函数。2利用微分形式不变性，在方程两边求微分，然后解出芈dx例3设方程xy2+ey=cos(x+y2),求y'解法一：y2+2xyy+eyy=-sin(%+>,2)(1+2y/),y2+sin(x+b)〉2xy4-ey+2j,sin(x+y2)解法二：d(xy2+ey)=d(cos(x+y~))y2dx+2xydy+eydy=-sin(x+y2)(clx^2ydy)[(2xy+

3、ey+2ysin(x+y2)]dy=-[y2+sin(x+y2)]dx,_y2+sin(兀+y2)2xy+R+2ysin(x+)，)幕指函数的微分法设y=w(x)v(x)(w(x)>O,w(x)H1)=>y=ev(x,,nM(J)y二/讪“(彳/(x)lnw(%)+y(x)也

4、_心)」=u(x)v(x)vx)Inu(x)+咻)""_U(x)」例4设y=xa'+ax+xv,求y‘解尸/皿+口严+/呎Xy=e(,x,naxln^zlnx+—)+”夕,nx(1+Inx)Ina+/,n”(心心in%+齐)X=x°xax(IndIn兀

5、+—)+ae(1+Inx)xx•Ina+xx°+

6、ln(x+3)+彳ln(3-2x2)-

7、ln(l+x2)-

8、ln(5一3x3)上式两边对x求导，得2L=_2_+_?+—yx-23(兀+3)3(3-2

9、x2)3(1+〒)5-3x3U-2)2s(x+3)2(3-2x2)4(1+x2)(5-3x3)2216x2x3x2+——+兀一23(x+3)3(3-2x2)3(1+x2)5-3x3_分段函数微分法：各区间内的导数求法与一般所讲的导数求法无界，要特別注意的是分界点处的导数一定要用导数的定义求°例如使用公式/©)=lim"兀)_/(和及左右XTXoX-X(}导数来求是否可导。兀3siny工0例6设0(力=1I,又函数/(兀)可导，求F(x)=f[(p(x)]的导数.0x=O解当兀工0时，F'(jc)=f(p{x)]3x2sin—-

10、xcos—LxX当x=Q时F(0)Mn/(“)"(°)“n/g)]7(°)XT°X-05(31)fx3sin--/(0)=limIXA->0x-0x3sin—-0X3・1)兀sin-兀丿flim—txtO3.1八x'sin——0x-/(0)x3sin—兀x(1•limx2sin—x丿/z(0)・0=0.IX丿VXx)故Fx)=<0x.2高阶导数求法1.直接法：求出所给函数的1〜3阶或4阶导数后，分析所得结果的规律性，从而写出几阶导数的方法。例1设y=excosx,求yin)。解y=excosx-exsinx=XH(cosx(

11、龙)cosx+—4丿(兀、cosx+—I4丿-esinx+—I4丿/、=(V2)2^vcosx+2•—（V2）2'Jl(JIexcosx+2•—-exsin兀+2・一I4丿兀、4J兀、4>(V2)3^Acosx+3•—y（"）=（Q）"『cos（x+m^）。42间接法利用已知的高阶导数公式，通过四则运算，变量代换等方法。求出给定的函数的n阶导数。（1）分式有理幣数的高阶导数例2设『=—x2-3x+2求y(,,)兀+3x~—3x+2x3-3x2+2x3x2-9x4-67x-67x-6AB=1(x—2)(x—1)x—2x—}_A(

12、x-l)+B(x-2)(x-2)(x-l)7x-6=A(x-l)+B(x-2)3x2一2xy=(x+3)+7x-6y⑷=(x+3)⑷+[8(x-2)_,](w)-[(x-I)-'](w)=0+(_1)“.8•n!(x-2尸-"-(-1)”祕(兀一l)-,_w(n