大连理工大学《工科数学分析基础》上学期复习

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1、高等数学第一章函数、极限与连续一、函数1.函数分类初等函数概念分类＜分段函数/(-V)sin血/(兀)=1m•xsin—x兀HO隐函数F(x,y)=0;Vx+77=4ci参数方程表示的函数=类型分类｛[y=y(O积分上限函数y=[/a)力y=J：：/(/)d/抽象函数y=/(兀)歹=/(0(劝)研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。可积性分析性质：极限、连续性、可微性、2.例题(仅限于对应)引例=求/(/(x))I+X解=77771=—^1+/(力i+丄1+X/(X)=<兀v0x>0，求/(/(x))o解®)Ty(:鳥1+xv0x<0l-

2、x<02+xx<-lx>02-xx>1l+x>0——x—15兀vOx<0x00x>0l+(l+x)1+(1—兀)1—(1+兀)l-(l-x)例2f(x)=ex~,/(^(x))=1-x,且(p{x)>0,求卩(兀)，并写出定义域。解f((p(x))=(v)=1-x,(p(x)=Jln(l-兀)l-x>l=>x

3、强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“対应”一点。函数问题基本解决。其他问题从略(本类题考率三年一次)。1.习题[1

4、%

5、<11.设/(x)=n'，则/(/«)=_Lo0x>2.设〃)=]：X~4-X则/(-x)=(D)x>0-x2x<0(A)f(-x)=°[-(x~+x)%>0{x2x<0(C)/(-x)=][x-xx>0(B)f(x)=(D)/(x)=—(f+x)-X2x2-XX2x<0x>0x<0兀no3.设=则/(/(/«))=(B)〔0

6、x

7、>l[1

8、x

9、

10、x

11、>l1./(x

12、)=

13、xsinx

14、^cosv(~ooo)是(D)（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数1.设/（兀）连续，则下列函数中为偶函数的是（D）。（A）（B）（C）（D）£r[/（r）+/（-r）Wr二、极限1.内容总结°基本型.9型/约掉“零因子”,忙騷同除分母最高阶项宀0、落必达法则OO落必达法则2）等价代换当兀TO时x〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(l+x)〜ex-1,ax-1〜xlna転-I〜丄Ina,l-cosx〜n3)重要极限lim"11"-i(limnsin丄=1)•YT()X"TooHlim(l+

15、x)；=£(lim(l+丄)”=幺)XXT()入—>8ooci>1oo其他lim=1(d>0)(lim=1)lima"=coci=10oo<7=0a<0_（_极限不存在例：limevlimexxtO入TO=g；limex—0xt(t用泰勒公式求极限用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）例题基础题目4)5)2s1.(宀”型)

16、imV?f7-4=3；］讪「豎+3=丄0片-9丘_34片ti牙°_4兀2+32XT8:lim

17、-———兀叫兀ex-)x--x1町—1)22.（等价代换）..—3.5、..yt

18、—35匕hmln(l+—)=lim=5川*n+2n"Ta〃+2n(sinx〜xjn(l+x)〜兀).•Incosx-ln(l+cosx-l)lim=lim；二limxtO

19、—exxtO__])xtOcosx-1limxtO1£=丄x22lim/?(V3-V2)=lim/7(11、(IA(1、3"-1一2"+1=limn3"-1-n2«-lHT8n—>oonT8k丿/X（注意”hT的处理。"一1〜x,1—C0SX〜一。）2113=lim/?-—In3-limn—In2=In—2"T8yi-InaJen一1—Ina)n3.幕指lim(sinx)tanv=limet

20、anA,nsinx22limian.rln(l+sin.v-l)2e2limtanx(sinA*-l).YT_e2..sinx-l.limsinx』cosx，24・泰勒公式limxtOlimxtO,・COSX・Innlimsinxd-sinue2sinx-x=limXT()x3cosx-(?2X4e°=lX+(兀3)—%3!八lim兀TO%X3+—-(1-—+2!4!2—)2务)+")1、打皿）112(注对泰勒公式只需熟悉ex,sinx,cosx,ln(l+x(1+x)a展开式)5.夹逼定理与单调有界[1表示取整函数解1当兀＞0时，--K<-,x(--l)

21、[-l