大连理工大学《工科数学分析基础》第一章复习

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1、第一章复习X.1函数的极限及其连续性概念：省略注意事项1.无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，y=f(x)=xsinx是无界变量，但不是无穷大量。因为取TTJTx=xlt=2n7r+^-时，/(兀)=2/r+彳，当斤充分大时，/(£)可以大于一预22先给定的正数M；取x=xn=2/?tf时，兀)=02.记住常用的等价形式当X—>0时，sinx〜兀，arcsinx〜匕tanx〜兀，arctanx〜九1?丄1ln(l+x)〜兀，"一1~x,1—cosx~—，(1+x)n~1—x2n例1当XT0时，下列函数哪

2、一个是其他三个的高阶无穷小(A)x2o(2)1-cosxo(3)sinx-tanx(4)ln(l+x2)o()解：因为1—COSX〜丄皿1+兀2)〜兀2,所以选择CX2HrVe-COSX练习hrnxt°lncosx解lime-cosxIncosx"—1+1—cosx=limgoln[l+(cosx-l)]lim———goln[l+(cosx-l)]+limxtO1-cos%ln[l+(cosx-l)]lim9JTxt()COSX—1+lim1-cosxXT°cos无一13.若函数的表达式中包含有a+4b(或奶+丽)，则在运算前通常要在分子分母乘以其

3、共轨根式a-4b(或丽-丽)，反之亦然，然后再做有关分析运算例2求limsin(Jn匚Flzr)。HT8解limsin(7^2+l^r)=limsin[(V^2+1一町兀+n7r]HT8?/—=lim(-l)"sin(V^2+1”—»87t+1+斤当ntoo时，sin/c>0,(料Too)a/a?+1+na/h2+1+H又

4、(_1)”=1,故limsinCVn^+l^^O”T8练习求lim[Jl+2+・・・+〃—Jl+2+・・・+(/?—l)]"T8解原式=lim"T8n(n+1)n(n-l)""2V~2-r12nV2—■—•—「「-——"T8^2

5、Jn(n+T)+Jm(/?_1)24.大—>8该极限的特点:l（i）r型未定式1（2）括号屮1后的变量（包括符号）与幕互为倒数解题方法（1）若极限呈广型，但第二个特点不具备，则通常凑指数墓使（2）成立（2）凡是广型未定式，其结果：底必定是幺，幕可这样确定:设limw（x）=0,limv（x）=oo,则lim(l±u(x))v(x)=limev(x),n(,±w(x))=elimv(x),n(1±M

6、XX丿解原式=limX—>81.1}cos—+sin—xx(2卡=lim1+sin—XT8.22rsin-因为limsin土上=lim「^=l,所以原极限=—JVT8X2-V—>ooZ练习求limxtO+…+e,,xV'n丿原式=lim1+xtOv八宀…+严—斤1lre_l）+（宀1）+…+（严_1）lim=—lim'tonx因为-=—limnnxtoX1Zx1lix1c—1e—1•e—1+lim+・・・+limjctO%xtO兀XT°X=-（1+2+…+n）=—n25.几个常用的极限lim転（a>0）=1"T8特别地limVn=1”T8limar

7、ctanx=—x—»+oo2limarccotx=0JVT+oolimarctanx=712limarccotx=7Tlim夕=0XT一8limex=ooXT+8limxv=1xt0+x.2单调有界原理单调有界数列必有极限此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列｛暫｝单调有界；（2）设｛兀｝的极限存在，记为xmxn=l代入给定的兀的表达式中，则该式变为/的代数方程，解之即得该数列的极限。例4已知数列｛atl｝：均=1,偽=1+4,•••,%=]+，…，求lim%。「1+Q]1+Q-1E显然V。解用数学归纳法可证得｛色｝单

8、调增加：假设皿_

9、•••+=)oV^2+1Qn2+2Vn2+h解因为〒++・..+VT+nQrr+Jrr+2rr+n而lim+h=lim