插值法及其应用【毕业论文+开题报告+文献综述】

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本科毕业论文开题报告信息与计算科学插值法及其应用一、综述本课题国内外研究动态,说明选题的依据和意义在很多实际应用问题中,我们经常会碰到被计算的函数有时不容易直接计算,或者通常只是有观察与测试得到一些离散数值.有时即使给出了解析表达式,却由于表达过于复杂,不仅使用不便,而且不易与进行计算与理论分析.如表达式过于复杂或者只希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数,然后用该简单函数的函数值近似代替被计算函数的函数值.这种方法就叫插值逼近或者插值法.插值法要求给出函数的一个函数表,然后选定一种简单的函数形式,比如多项式、分段线性函数及三角多项式等,通过已知的函数表来确定一个简单的函数作为的近似,概括地说,就是用简单函数为离散数组建立连续模型.经典的插值方法以Taylor插值和Lagrange插值为代表.Taylor插值利用函数在定义域内某点处的阶至n阶导数信息给出复杂函数或未知函数的近似多项式表达式,Lagrange插值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式,进一步根据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论.因此Taylor插值和Lagrange插值有着紧密的联系,Taylor插值可以看作Lagrange插值的极限形式；Lagrange插值则是Taylor插值的离散化形式.Lagrange插值的有点是插在多项式特别容易建立,缺点是增加节点时原有多项式不能利用,必须重新建立,即所有基函数都要重新计算,这就造成计算量的浪费；Newton插值多项式是代数插值的另一种表现形式,当增加节点时它具有所谓的“承袭性”.在很多实际应用问题中,为了保证插值函数能更好的密合原来的函数,不但要求插值函数“过点”,即插值函数和被插值函数在节点上具有相同的函数值,而且要求“相切”,即两者在节点处还具有相同的导数值,这类插值称作切触插值,即Hermite插值.由于Taylor插值利用的是“一点”的各阶导数信息,19 Lagrange插值利用的“多点”函数信息,而Hermite插值即利用函数值信息又利用导数信息,所以Hermite插值是Taylor插值和Lagrange插值的综合和推广.现在,插值技术应用越来越广泛了．当我们尚未认识到某一事物的本质时,常从其观测点出发,利用插值技术以加深或拓展对该事物的认识或解决某些特定的问题.密钥共享即是插值法的应用之一．在现代密码体制中,数据的加密算法是公开的,数据的安全性主要取决于对密钥的保护．现在基于Lagrange插值多项式也研究出了一种密钥共享方法,解决了密钥保护问题.目前实际中使用的也不仅仅局限与上述的插值方法,很多都是对经典方法的改进,例如《空间插值法在地阶梯度场中的分析》一文中介绍了4种空间插值法在房产估值中的应用,4种空间插值方法都各有优缺点,作者通过对各种方法研究比较,最后选择克里金插值法作为住宅用地地价梯度场研究的主要方法.根据其研究成果房地产决策者和规划者可以对城市居住用地的土地利用向最有效使用方向调整,最大限度的实现土地的最高使用价值.随着计算机的发展以及图像处理的重要性,插值法在计算机图像处理中也有着重要的作用.图像放大是一种常用的数字图像处理技术,在航天航天、医学、通讯、多媒体等领域有着广泛的应用,常用的图像插值算法中,最临近插值算法的实现最为简单、方便,但它只是原始像素简单复制到其邻域内,放大图像会出现明显的方块或锯齿,即我们平时所说的失真.插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的,其应用也日益增多,特别是在电子计算机广泛使用以后,由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要,使插值法在实践上或理论上显得更为重要,并得到进一步发展.为此,本文拟通过对不同插值法的学习研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,在此基础上进一步研究插值法在实际中的应用,以提高插值法的实用性.二、研究的基本内容,拟解决的主要问题研究的基本内容:插值法及其应用解决的主要问题:1.介绍常用的几种插值法；2.分析各种插值法的优缺点,以认识它们的联系与区别；3.研究插值法在实际中的应用.19 三、研究步骤、方法及措施研究步骤:1.查阅相关资料,做好笔记;2.仔细阅读研究文献资料;3.在老师指导下,翻译英文资料;4.在指导老师指导下,撰写文献综述;5.撰写论文初稿;6.上交并反复修改论文;7.论文定稿.方法、措施:通过到上网、图书馆等途径收集资料.通过到图书馆、上网等查阅收集资料,上中文学术期刊网查找文章,参考相关内容.在老师指导下,通过研究各种方法来解决问题.四、参考文献[1]李庆扬,王能超,易大义.数值分析.第4版[M].北京:清华大学出版社,2001.[2]黄铎,陈兰平,王凤.数值分析[M].北京:科学出版社,2000.[3]沈燮昌.多项式最佳逼近实现[M].上海:上海科学技术出版社,1984.[4]StoerJ.andBulirshR.IntroductiontoNumericalAnalysis[M].NewYork:Springer-Verlag,1980.[5]吴才斌．插值法及其应用[J].湖北大学成人教育学院学报,1999,17(5):77-80.[6]杨士俊,王兴华.Hermite插值多项式的差商表示及其应用[J].高校应用数学学报,2006,21(1):70-78.[7]姜琴,周天宏.常见的插值法及其应用[J].郧阳师范高等专科学校学报,2006,26(3):6-8.[8]陈文略,王子羊.三次样条插值在工程拟合中的应用[J].华中师范大学学报,2004,38(4):418-422.[9]C.R.Selvaraj.Lacunaryinterpolationbyconsinepolynomials[J].Hungar,1994,64(4):361-372.[10]R.D.Riess.Errorestimatesofhermiteinterpolation[J].BIT,1973,13:338-343.毕业设计文献综述信息与计算科学19 插值法及其应用插值问题是数值计算中基础而又核心的问题.在许多实际问题及科学研究中,因素之间往往存在着函数关系,然而,这种关系经常很难有明显的解析表达,通常只是有观察与测试得到一些离散数值.有时即使给出了解析表达式,却由于表达过于复杂,不仅使用不便,而且不易与进行计算与理论分析.例如在工程实际问题中,我们也经常会碰到诸如此类的函数计算问题,被计算的函数有时不容易直接计算,如表达式过于复杂或者只希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数,然后用该简单函数的函数值近似代替被计算函数的函数值.这种方法就叫插值逼近或者插值法.插值法要求给出函数的一个函数表,然后选定一种简单的函数形式,比如多项式、分段线性函数及三角多项式等,通过已知的函数表来确定一个简单的函数作为的近似,概括地说,就是用简单函数为离散数组建立连续模型.插值方法是一类古老的数学方法,它来自生产实践.早在数千多年前,由于经典的牛顿力学尚未诞生,因而人们无法用解析式描述日月五星的运行规律.我们的祖先凭借插值方法,利用对日月五星运行规律的有限个观测值获得了比较完整的日月五星的运行规律.在一千多年前的隋唐时期,中华先贤在制定历法的过程中就已经广泛地运用了插值技术.公元6世纪,隋朝刘焊已将等距结点的二次插值应用于天文计算.但插值的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的,随后其应用也日益增多,特别是在电子计算机广泛使用以后,由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要,使插值法在实践上或理论上显得更为重要,并得到进一步发展.经典的插值方法以Taylor插值和Lagrange插值为代表.Taylor插值利用函数在定义域内某点处的阶至n阶导数信息给出复杂函数或未知函数的近似多项式表达式,Lagrange插值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式,进一步根据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论.因此Taylor插值和Lagrange插值有着紧密的联系,Taylor插值可以看作Lagrange插值的极限形式；Lagrange插值则是Taylor插值的离散化形式.Lagrange插值的优点是插值多项式特别容易建立,缺点是增加节点时原有多项式不能利用,必须重新建立,即所有基函数都要重新计算,这就造成计算量的浪费；Newton插值多项式是代数插值的另一种表现形式,当增加节点时它具有所谓的“承袭性”..在很多实际应用问题中,为了保证插值函数能更好的密合原来的函数,19 不但要求插值函数“过点”,即插值函数和被插值函数在节点上具有相同的函数值,而且要求“相切”,即两者在节点处还具有相同的导数值,这类插值称作切触插值,即Hermite插值.由于Taylor插值利用的是“一点”的各阶导数信息,Lagrange插值利用的“多点”函数信息,而Hermite插值即利用函数值信息又利用导数信息,所以Hermite插值是Taylor插值和Lagrange插值的综合和推广.现在,插值技术应用越来越广泛了.当我们尚未认识到某一事物的本质时,常从其观测点出发,利用插值技术以加深或拓展对该事物的认识或解决某些特定的问题.密钥共享即是插值法的应用之一.在现代密码体制中,数据的加密算法是公开的,数据的安全性主要取决于对密钥的保护.现在基于Lagrange插值多项式也研究出了一种密钥共享方法,解决了密钥保护问题.目前实际中使用的也不仅仅局限与上述的插值方法,很多都是对经典方法的改进,例如《空间插值法在地阶梯度场中的分析》一文中介绍了4种空间插值法在房产估值中的应用,4种空间插值方法都各有优缺点,作者通过对各种方法研究比较,最后选择克里金插值法作为住宅用地地价梯度场研究的主要方法.根据其研究成果房地产决策者和规划者可以对城市居住用地的土地利用向最有效使用方向调整,最大限度的实现土地的最高使用价值.随着计算机的发展以及图像处理的重要性,插值法在计算机图像处理中也有着重要的作用.图像放大是一种常用的数字图像处理技术,在航天航天、医学、通讯、多媒体等领域有着广泛的应用,常用的图像插值算法中,最临近插值算法的实现最为简单、方便,但它只是原始像素简单复制到其邻域内,放大图像会出现明显的方块或锯齿,即我们平时所说的失真.目前较为好的方法之一即双线性插值算法,双线性插值算法利用映射点在输入图形的4个邻点的灰度值对映射点进行插值,即插值点处的数值用待插点最近的4个点的值加权求得.双线性插值能够较好的消除锯齿,放大后图像平滑性好.但是其缺点是图像高频信息丢失严重,即图像细节与轮廓的模糊,影响了放大图像的清晰度.因此在双线性插值放大技术的基础之上,加入边缘锐化处理,增强平滑图像的轮廓,使放大后的图像有较好的清晰度.插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的,其应用也日益增多,特别是在电子计算机广泛使用以后,由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要,使插值法在实践上或理论上显得更为重要,并得到进一步发展.19 参考文献[1]李庆扬,王能超,易大义.数值分析.第4版[M].北京:清华大学出版社,2001.[2]黄铎,陈兰平,王凤.数值分析[M].北京:科学出版社,2000.[3]沈燮昌.多项式最佳逼近实现[M].上海:上海科学技术出版社,1984.[4]StoerJ,BulirshR.IntroductiontoNumericalAnalysis[M].NewYork:Springer-Verlag,1980.[5]吴才斌．插值法及其应用[J].湖北大学成人教育学院学报,1999,17(5):77-80.[6]杨士俊,王兴华.Hermite插值多项式的差商表示及其应用[J].高校应用数学学报,2006,21(1):70-78.[7]姜琴,周天宏.常见的插值法及其应用[J].郧阳师范高等专科学校学报,2006,26(3):6-8.[8]陈文略,王子羊.三次样条插值在工程拟合中的应用[J].华中师范大学学报,2004,38(4):418-422.[9]朱春钢.二元线性样条插值[J].应用数学,2006,19(3):575-579.[10]李洪杰.关于三次样条插值方法在应用中的一点改进[J].计算机与应用化学,1991,8(3):187-190.[11]王芳.牛顿插值法在数学中的应用[J].浙江师范大学学报,1994,17(4):67-73.[12]张元巨.Hermite插值的一种新形式[J].苏州科技学院学报,2004,24(3):27-29.[13]文畅平.埃米尔特插值函数的工程应用[J].人民黄河,2006,28(4):69-70.[14]C.R.Selvaraj.Lacunaryinterpolationbyconsinepolynomials[J].Hungar,1994,64(4):361-372.[15]R.D.Riess.Errorestimatesofhermiteinterpolation[J].BIT,1973,13:338-343.19 本科毕业论文（20届）插值法及其应用19 摘要插值法是数值分析、数值逼近和工程实际应用当中的一个重要工具.本文阐述了插值法与插值多项式的基本概念,并介绍了几种常用的插值方法,对其误差进行了估计,找出不同方法间的联系与区别,分析一些方法存在的优缺点,最后探讨了插值法在理论研究与实践工作中的应用.关键词:插值法;误差分析;数值积分;线性方程组;中值定理19 AbstractInterpolationmethodisanimportanttoolfornumericalanalysis,numericalapproximationandthepracticalapplication.Inthispaper,thebasicconceptofpolynomialinterpolationandinterpolationareexplained.Severalcommoninterpolationmethodsareintroducedandtheirerrorsareestimated.Theconnectionanddistinctionamongthedifferentmethodsareanalyzed,andtheadvantagesanddisadvantagesofsomemethodsarestudiedalso.Finally,theapplicationintheoreticalresearchandpracticalworkisdiscussed.Keywords:Interpolation;Erroranalysis;Numericalintegration;Linearequations;Valuetheorem19 目录摘要IABSTRACTII1前言12插值问题33常用的插值法53.1Lagrange插值53.2Newton插值63.3Hermite插值93.4分段插值法124插值法的应用144.1在数值积分中的应用144.2在解线性方程组中的应用154.3用插值法构造辅助函数解决中值定理中的具体问题164.4Hermite插值在工程上的应用175小结19致谢2119 1前言实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系,其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的,虽然在某个区间上是存在的,有的还是连续的,但却只能给出上一系列点的函数值,这只是一张函数表.另外有些函数虽有解析表达式,但由于计算复杂,使用不方便,通常也仅是够造一个函数表,如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等等.为了研究函数的变化规律,往往需要求出不在表上的函数值.因此,我们希望根据给定的函数表构造出一个既能反映函数的特性,又便于计算的简单函数,用近似[1].插值法是解决上述关于函数的计算与近似代替的基本的并且有效的方法之一.插值技术早在数千多年前就已经广泛应用了,在16-19世纪,多项式插值被用来解决航海学和天文学中的一些重要问题[2].期间包括牛顿、高斯、欧拉和拉格朗日在内的许多数学家都对这个课题作出重要的贡献,并提出了一些插值公式.经典的插值方法以Lagrange插值为代表[3].Lagrange插值利用多个离散点的函数信息给出函数的近似多项式的表达式,进一步根据插值结果对复杂函数或未知函数相关的理论和应用问题做出讨论,其优点是插值多项式特别容易建立,缺点是增加节点时原有多项式不能利用,必须重新建立,即所有基函数都要重新计算,这就造成计算量的浪费[4];Newton插值多项式则很好地解决了上述问题,该插值法是代数插值的另一种表现形式,当增加节点时它具有所谓的“承袭性”;其后还有Hermite插值法及分段插值法[5].上世纪四十年代,Schoenberg还提出了样条函数,此后对样条及其应用的研究出现了“突破”[6].1978年,DeBoor在出版的书中提出了多项式的实际应用,这为进一步开展的研究提供了很好的基础.但插值法的基本理论和结果是在微积分产生以后才逐步完善的,随后其应用也日益增多,特别是在电子计算机广泛使用以后,由于航空、造船、精密机械加工、服装、天气预报等实际问题的需要,使插值法在实践上或理论上显得更为重要,并得到进一步发展.现在插值法已经在不少领域中起着重要作用[7].在一些数学理论中,如:中值定理中的一些证明问题,等幂和一般公式,都采用了插值法.随着网络应用的繁荣,给数据网络传输带来了方便,越来越多的重要信息在网络上传输,为了保证安全,对网上传输的敏感数据都需要加密.而运用插值技术可以研究出一种密钥共享方法,解决了这种密钥保护问题.19 使用插值方法可以启发人们的思维,在数学中可以减少一些递推运算,在实际中可以使难题化简,所以研究插值法就显得十分必要了[8].本文首先介绍了插值法的基本问题,接着阐述了几类常用的插值法,找出不同方法间的联系与区别,分析这些方法存在的优缺点,最后探讨了插值法在理论研究与实践工作中的应用,以此进一步提高人们对插值法实用性的认识.19 2插值问题生产实践中常常出现这样的问题:给出一批离散样点,要求作出一条通过这些点的光滑曲线,以便满足设计要求或进行加工.反映在数学上,即已知函数在一些点上的值,寻求它的分析表达式.因为由函数的表格形式不能直接得出表中所列点出的函数值,也不便于研究函数的性质.此外,有些函数虽有表达式,但因式复杂,不容易计算其值和理论分析,也需要构造一个简单函数来近似它.插值法就是解决这个问题的方法之一,其基本思想是给出函数的一些样点值,选定一个便于计算函数形式,如多项式、分式线性函数及三角多项式等,要求它通过已知的样点,由此确定的函数作为的近似.下面简单介绍插值问题中涉及到的一些基本概念.设函数在区间上有定义,且已知在点上的值,若存在一简单函数,使（2.1）成立,就称为的插值函数,点为插值节点,包括插值节点的区间称为插值区间,求插值函数的方法称为插值法.若为次数不超过的代数多项式,其中为实数,就称为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值.据线性代数中线性空间的理论,全体次数小于等于代数多项式构成的维线性空间中的基底是不唯一的,因此次代数多项式可以写成多种形式.首先定义个线性无关的特殊代数多项式,它们在插值理论中称为插值基函数,用表示.由它们的线性组合表示的次数不超过次插值多项式应满足插值条件(2.1).不同的插值基函数将组成不同形式的插值多项式.但是,由于插值多项式的唯一性,对于给定的一组数据所做的不同形式的插值多项式本质上是同一个.19 下面主要介绍几类常用的插值多项式,对其误差进行估计,并逐一分析不同方法的优缺点.19 3常用的插值法3.1Lagrange插值已知函数在个不同的点上的函数值分别为,求一个次数不超过的多项式,使其满足,即个不同节点可以唯一决定一个次多项式.当时,已知节点求使得.可见是过和两点的直线.记,则当时,插值节点为,求,使得同理此时可得则二次插值多项式用类似的推导方法,可得到次插值基函数,19 于是可表示为（3.1）我们把形如（3.1）的插值多项式称为Lagrange插值多项式.这里用在区间上近似,则其截断误差为,也称为插值多项式的余项.关于插值余项有以下定理.定理3.1设在上连续,在内存在,节点,是满足条件（2.1）的插值多项式,则对任何,插值余项,（3.2）其中.应当指出,余项表达式只有在的高阶导数存在的时候才能应用,在内的具体位置通常不能给出,如果我们可以求出,那么插值多项式逼近的截断误差限是.Lagrange插值法的公式结构整齐紧凑,在理论分析中十分方便,然而在计算中,当插值节点增加或减少时,对应的插值基函数就需要全部重新计算,于是整个公式都会变化,非常繁琐.这时可以Newton插值来代替.此外,当插值点比较多的时候,Lagrange插值多项式的次数可能会很高,因此具有数值不稳定的特点,也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值,但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象被称为龙格现象.3.2Newton插值已知函数在个节点上的函数值分别为.Newton插值法将插值基函数取作:19 （3.3）用它们组合成如下形式:.（3.4）为使（3.4）式表示的成为的插值多项式,需要按插值条件,确定参数.为得到参数的一般表达式,下面给出相关的概念.定义3.2[9]设有函数,为一系列互不相等的点,称为关于点的一阶差商.为关于点的阶差商.可由下表（表3.1）表示其计算方法.表3.1差商表一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商差商具有如下基本性质:19 （1）各阶差商均具有线性性,即若,则对任意正整数,都有.（2）阶差商可表示成的线性组合,及,其中.这个性质也表明差商与节点的排列次序无关,又称为差商的对称性.如,.（3）若是次多项式,则一阶差商是次多项式.（4）若在上存在阶导数,且,则阶差商与导数之间存在如下的关系:.线性插值公式可以写成如下形式,（3.5）则根据差商的定义（3.5）可以改写成（3.6）公式（3.6）就称为一次Newton插值多项式[10].由差商的定义,把看成上的一点,可得…19 故其中,,就是Newton插值多项式,为Newton插值余项.定理3.2若包含插值节点,在区间上次可微,则对任意,则与有关的,,使得,.用Lagrange插值多项式计算函数f(x)在x处的近似值时,如果需增加插值节点时,已经算出的结果不能被很好地利用,Newton插值公式则克服了Lagrange插值的缺点,即.在基础上计算所增加的工作量为:计算所需的工作量次除法及减法及计算所增加的次乘法及次减法.故需增加的总工作量为:次乘除法及次加减法.3.3Hermite插值不少实际问题不但要求在节点上函数值相等,而且还要求它的导数值也相等(即要求在节点上具有一阶光滑度),甚至要求高阶导数也相等.满足这种要求的插值多项式就是Hermite插值多项式.下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况下的Hermite插值法.给定函数在个互异节点处的函数及其导数值,现要求寻找插值函数,使其在节点处的函数值及其一阶直至指定阶的导数值与19 在相应节点的函数值及同阶导数值分别对应相等[11].设求插值多项式,满足条件,（3.7）满足条件（3.7）的多项式称为Hermite插值多项式.形式为.根据条件（3.7）来确定系数显然非常复杂,因此我们采用构造插值基函数的方法来求Hermite插值多项式[11].先求插值基函数和,共有个,每个基函数都是次多项式,且满足条件,.（3.8）于是满足条件（3.8）的插值多项式可写成用插值基函数表示的形式由条件（3.8）显然有在处函数值与导数值均为0,故它们应含因子,为此,可利用插值基函数,令,其中.（3.9）由（3.8）可得,19 ,整理可得,.对式（3.9）两边取对数再求导,得,于是.同理可得,故Hermite插值多项式为.当时,可得两个节点的三次Hermite插值多项式为.定理3.3设,为的满足插值条件（3.7）的次Hermite插值多项式,如果在内的阶导数存在,则插值余项为且与有关.当时,三次Hermite插值余项为19 .Hermite插值也叫带指定微商值的插值,它构造的插值函数,不但在给定节点上取函数值,而且取其一阶直至指定阶的导数值,使插值函数和被插函数的密和程度更好.3.4分段插值法据区间上给出的节点做插值多项式近似,一般总认为的次数越高逼近的精度越好,但实际上并非如此.这是因为对任意的插值节点,当时,不一定收敛到.本世纪初龙格就给出了例子证明了随着插值节点数的增加,插值多项式的次数也相应增加.对于高次插值容易带来剧烈振荡,会使数值不稳定.为了既要增加插值节点,减小插值区间,以便更好的逼近被插值函数,又要不增加插值多项式的次数以减少误差,可以采用分段插值的办法.通常用到的是分段低次插值,下面介绍分段线性插值法,即通过插值点用折线段连接起来逼近.设已知节点上的函数值,,,求一折线函数满足:（1）记,（2）,（3）在每个区间上是线性函数.则称为分段线性插值函数.由定义可知在每个小区间上可表示为.若用插值基函数表示,则在整个区间上为,其中基函数满足条件,其形式为19 分段线性插值的误差估计可利用插值余项（3.2）得到或,其中.上面讨论的分段插值函数都有一致收敛性,但光滑性较差.19 4插值法的应用4.1在数值积分中的应用对于积分,求其数值解,有很多种方法.都是根据被积函数在积分区间上的数据表,构造插值多项式,代替被积函数导出的.通常称为插值求积法.例如导出积分的插值求积公式.取,,.先构造Lagrange插值基函数:,,,.则有故,其中故.（4.1）若取等距节点则有.（4.2）设被积函数,用（4.1）式计算有.若用（4.2）式计算,则有,其中.将积分区间等分,构造被积函数的次插值多项式,对19 导出了一组插值求积公式,通常称为Newton—Cotes求积公式.当时,公式都是适用的.复化的求积公式有复化的梯形公求积公式和复化的抛物求积公式.它们分别是用分段的线性插值多项式和分段的抛物插值多项式代替被积函数求积所导出的求积公式.简单实用.Romberg求积法是采用将积分区间逐次分半,复化梯形公式求积得到的积分值序列再采用外推（插）技术得到新的积分序列（相当于复化的抛物求积序列）,再采用外推法得到相当于的变化的Cotes求积分的序列,第三次采用外推法得到的积分值序列称为Romberg求积序列.其精度是相当高的.可以说是最好的求积算法.4.2在解线性方程组中的应用在各种方程组中,有很多是以范德蒙行列式为系数行列式的线性方程组,具体形式如下（4.3）令,则有,故解线性方程组（4.3）的问题即转化为求过个点的次多项式的系数问题,于是由Newton插值法可设(4.4)其中,将（4.4）化简,与（4.3）相比较,即得的值.如方程组为(4.5)将（4.5）变形可得19 令.（4.6）且经过三点,可列均差表（表4.1）表4.1均差表一阶均差二阶均差故（4.7）由（4.6）和（4.7）可得由上述可得,对于这一类线性方程组,若用单纯的线性方程组和矩阵解法都比较麻烦,而利用Newton插值法,不仅运算速度快,而且不易出错.4.3用插值法构造辅助函数解决中值定理中的具体问题对于微分学中值定理中证明在某个开区间存在一点,使得这类题目,虽有各种解法,但各题各样,思路难以统一.本文给出了用多项式构造辅助函数解决这类问题的方法.利用的某个次插值多项式作为辅助函数,由于其次插值多项式的阶导数只与其最高次幂的系数有关,且.此处为多项式的最高次幂的系数.在利用其它条件写出插值多项式的表达式,从而给出了这类问题的一种可操作的解决方案.例4.1设在上连续,上二阶可导,且,证明存在,使.证明：取,令,,,有.再令,于是,在19 和满足罗尔定理的条件,故存在和,使得.对于在上再用罗尔定理,故存在,使,即.结论得证.4.4Hermite插值在工程上的应用[12]某公路工程路基填土的一组室内标准基实验结果见下表(表4.2),由表可知,其最大干密度应在含水量11.6%附近表4.2室内标准基实验结果试验序号12345含水量5.87.411.615.517.6干密度1.771.801.851.821.78图4.1曲线图由表可知,将最大干密度定为,对应的最优含水量为11.6%.而根据(图4.1)曲线图,最优含水量在12%附近更为合理.下面利用Hermite插值求解最大干密度与最优含水量.取分别为7.4、11.6、15.5对应分别为1.80、1.85、1.82,得到、.建立干密度、含水量的Hermite插值函数,（4.8）19 又因为,故.（4.9）取,对应的,根据插值条件,代入（4.8）和（4.9）可得,,故（4.8）应为.（4.10）因为,令,可得,解此方程得最优含水量为12.3%.将其代入（4.10）得最大干密度为.误差分析：由表中的试验数据可得,则.根据误差分析可知,用Hermite插值求解最大干密度与最优含水量的精度较高,能更好地逼近试验中的得到的曲线图.19 5小结插值法在解决实际问题中起着非常重要的作用.本文首先阐述了插值法与插值多项式的基本概念,接着介绍了几种常用的插值方法,对其误差进行了估计,找出不同方法间的联系与区别,分析一些方法存在的优缺点,最后探讨了插值法在理论研究与实践工作中的应用.由于篇幅有限,插值法在实际中的应用研究还不够详尽,这将是今后进一步研究的工作.19 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