大学生数学竞赛试卷及答案(数学类)

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1、首届全国大学生数学竞赛赛区赛试卷参考答案(数学类，2009)一、求经过三平行直线Li:x=y=z,L2:xDl=y=z+1,h:x=y+l=zJ1的圆柱面的方程.解：先求圆柱而的轴L)的方程.由已知条件易知，圆柱而母线的方向是比=(1,1,1),且圆柱面经过点0(0,0,0),过点0(0,0,0)且垂直于77=(1,1,1)的平面口的方程为：兀+y+z二0.□与三己知直线的交点分别为0(0,o,O),p(i,0,ai),2(0,D1J)圆柱面的轴厶是到这三点等距离的点的轨迹，即条AX2+y2+Z2=(xCll)2+y2+(z+1)2♦22222.2/,八"兀+y+

2、z=x+(y+1)+(zD1)即*xDz=1■Vy□z=□1将Zx)的方程改为标准方程/□I=y+1=z.圆柱而的半径即为平行直线x=y=z和xDl=y+l=z之间的距离.H(1,口1,0)为£«上的点.对圆柱面上任意一点S(x』,z),衲和

3、”"

4、.,即In

5、

6、n

7、(□y+z□1)2+(x□z□1)2+(□x+j+2)2=6,所以，所求圆柱面的方程为：X2+y2+Z2□Ay□xz□yz□3x+3y=0・二、设C”・”是〃*复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间,_000Cln.□□□1u0□aWDi□F=ao10Fan2—•□□□□@00IDai□

8、Q□awaiQin□（1）假设ci^=□21“©LI,若AF=FA,证明:□□ranan2□dunA=ClnlFnD]+Cln^\FrDl++C/21F+awE；(2)求Cn.n的子空间C(F)={xDC«.u

9、FX=Xf}».（1）的证明：记A=（（i,<2,，〈”），M=G”iFnai+a”：iiF；c2++6f2iF+awE.要证明M=A,只需证明A与M的各个列向量对应相等即可•若以匕记第厂个基木单位列向量.于是，只需证明：对每个i,Met=Aei（={/）・若记®=（口弘,口1,,Dai）r,则F=（£2,勺，,，®）•注意到,Fo=£用話砖eFez=

10、s由Mei=(6fniFnui+a,uwF,^++Q2】F+awE)e+aiFe+ciwEexy-i/iLJl—_L二伽iFe+anwFo++gig+awe—Cln€n+UnI16?wD1+=〈i=Aei知Mei=MFe—FMe—FAe—AFe—AeiMe、=MF=F舫牟=F为©=AFg=A色Men=MFe.="眩二Ae.所以，M=A.(2)解：由(1),C(F)=span[E,F,F2,，隔},设x.E+^F+xiFi++x^F,^x=0,等式两边同右乘o,利用(*)得I=Oei=(颠E+xF+兀2F2++XrtjiF«oi)e=xoEe

11、+xFe+xiFe++x0）,/,g是V上的线性变换.如果fg□gf=f，证明：/•的特征值都是0,且仁g有公共特征向量.证明：假设L。是/的特征值，w是相应的特征子空间，即W={IDVI/d）=LJ}•于是，W在f下是不变的.下面先证明,Lo=o.fi取非零Inw,记加为使得I,gd）,g2

12、（I）,，g，”（l）线性相关的最小的非负整数，于是，当08/8m31^,I,g（

13、）,g2（

14、）,,小（

15、）线性无关05/8/nDl时令W^span^,g（

16、）,g2（l）,,gm（l）}，其中，Wo={l}.因此，dimWi=i（18/8/7?）,并且，I仏二Mm=W,”+2=・显然，g（W）DW+i,特别地，在g下是不变的.下面证明，Wm在/卜也是不变的.事实上，由/（I）=LJ»知fg（i）=gf（）+/（!）=Lo^（l）+Lol加d）=gfg（）+fg（）=g（Log（l）+LJ）+（L°g（l）+Lol）二l_og2（I）+2L0gd）+L（）l

17、根据•伽（I）=妙妙口1（I）+血口】（I）*（如口1）（l）+血口1（I）用归纳法不难证明，^（

18、）一定可以表示成

19、,g（

20、）,g2（

21、）,,gj）的线性组合，且表示式中gd）前的系数为Lo・因此肌在/下也是不变的，/在w,”上的限制在基1,1?（1）,炉（

22、）,,g^d）下的矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是L。，因而，这一限制的迹为就°(10分)由于fs□=f在必上仍然成立，而fgUgJ'的迹一定为零，故汕)=0,即Lo=o.任取5,由于/(I)=l,fg()+/d)=^(＜)+/(1)=＜，所以，g()CW.因此，W在g下是不变的.从而，在W中存在g