幂函数习题精选精讲58097

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1、幕函数•、分类讨论的思想例1已知函数y=/亠-3⑺€乙)的图彖与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图彖.解：因为图象与y轴无公共点，故n2-2n-3^0,又图彖关于y轴对称，则n2-2n-3为偶数，由n2-2/?-3^0,得-lWnW3,又因为hgZ,所以n=0,±1,2,3.当n=0时，n2-2n-3=-3不是偶数;当川=1时，n2-2n-3=-4为偶数；当料=一1时，n2-2n-3=0为偶数；当n=2时，n2-2n-3=-3不是偶数:当n=3时，n2-2/7-3=

2、0为偶数：所以〃为一1,I或3.此时，幕函数的解析为y=x°(x^0)或y*,其图象如图1所示.例2己知点(血2)在幕函数/⑴的图象上，点(-2,丄］,在幕函数g(x)的图彖上.I4丿问当x为何值时有:(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)=g(x)；(3)f(x)

3、Jg

4、(x)=x~2(xH0).在同一坐标系中作出/(兀)与g(兀)的图象,如图2所示.由图象可知:(1)当X>1或*<一1时，f(x)>g(x);(2)当x=±l时,f(x)=g(x)；(3)当一1

5、.(―1—V5,—14-V5)解析：要使函数y=(mx~+4兀+加+2)44-(m2一mx+1)的定义域是全体实数，可转化为mx2+4x+加+2>()对一切实数都成立，即加>0且△=42-4m(m4-2)<0.解得zn>V5-1.故选(B)幕函数中的三类讨论题所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类讨论时应注亟理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论.在泵函数小，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幕函数的图彖和性质，

6、依据幕函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现.类型一：求参数的取值范围例1已知函数/(x)=x~2m2+,,,+mgZ)为偶函数,且/(3)

7、+沖3<5一2"+'卄3,整理，得e<1,A-2/H2++3>0,:,5丿2又*/zneZ,m=0或1.当也=0时，—2〃『+〃7+3=3为奇数(舍去)；当加=1时，-2m2+m+3=2为偶数.故m的值为1,/(%)=X2•评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个佶息，做到不巫不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础.类型二：求解存在性问题例2已知函数f(x)=x2f设函数g(x)=-qf[f(x)]4-(2q-1)/(%)+1,问是否存在实数q(g<0),使得g(x)在区间(-8,—

8、4]是减函数，且在区间(-4,0)上是增函数？若存在，请求岀来；若不存在，请说明理由.分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合窗数的图象与性质进行判断，但耍注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间.解:・・・/(切=尤2,则g(x)=-g〒+(2g-i)x2+i假设存在实数q(qvO),使得g(x)满足题设条件，设兀]<兀2'则g(兀1)-g(兀2)=-处:+(2?-1)彳+qx；-(2q-1)球=3+兀2)(尤2-州)0(彳+兀；)-(2$-1)]•若X],%2丘(一8,-4],易

9、知X)+x2<0,x2-X]>0,要使g(x)在(-00,-4]上是减函数，则应有q(x；+x；)-(2g-1)<0恒成立.*.*Xj<-4,eW一4,・：尤；+兀；>32.而qv0,/.讥彳+x；）<32q・•从而要使讥斤+x；）v2g—l恒成立，则有2q-&32q,即gW-一.若勺x2G（-4,0）,易知（x,+x2）（x2一旺）v0,要使、f（x）在（-4,0）上是增函数，则应有g（x；+x；）-（2g-1）>0怛成立.T一4v西<0,-4v勺<0，+玮V32,而q<0,q（