幂函数习题精选精讲

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1、慕函数两数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幕*1数是英中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想.下血剖析儿例，以拓展同学们的思维.一、分类讨论的思想例1已知函数y=r2-2n-3(neZ)的图象与两处标轴都无公共点，且其图象关于)，轴对称，求n的值，并画出函数的图象.解：因为图象与)，轴无公共点，故X-2—3W0,又图象关于)，轴对称，则n2-2n-3为偶数，山斥一？〃-3W0,得-1W/zW3,又因为ngZ,所以«=0,±1,2,3.当〃=0时，/J一2〃—3=-3不是偶数；当斤=1时，n2-2n

2、-3=一4为偶数；当/?=-1时，n2-2n-3=0为偶数；当n=2时，川一2八-3=-3不是偶数；当n=3时，z?2-2n-3=0为偶数；所以n为一1,1或3.其图象如图1所示.此时，幕函数的解析为y=x°(x工0)或,y=X'4,例2已知点(72,2)在幕函数f(x)的图象上，点(-2,-1,在幕函数g(x)的图象上.I4丿问当兀为何值时有:(1)/(X)>g(x)；(2)/(x)=g(兀):(3)f(x)

3、2,即f(x)=x2.再令g(x)=xn,则山题意，得丄=(—2)",4・・・斤=一2,即g(x)=x-2(x^0).在同一坐标系中作出/(X)与g(x)的图彖，如图2所示•由图彖可知：(1)当兀>1或兀v-l时,f(x)>g(x);(2)当兀二±1时，f(x)=g(x)；(3)当一1

4、心-1,+8)C.(-2,2)D.(-1-75,-1+75)解析：要使函数y=(rnx24-4x+m4-2)4+(m2-mx+1)的定义域是全体实数，可转化为mx2+4x+加+2〉0对-•切实数都成立,即m>0且A=42-4/w(m+2)<0.解得w>V5-1.故选(B)幕函数中的三类讨论题所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类讨论时应注垂理解和掌握分类的原则、方法与技巧,做到确定对彖的全体，明确分类的标准，不靈、不漏的分类讨论.在幕函数屮，分类讨论的思想得到了垂婆的体现，可根据幕函数的图象和性质，依据幕函数的单调

5、性分类讨论，使得结果得以实现.类型一：求参数的取值范围例1已知函数/(x)=x-2,n2+,,,+mgZ)为偶函数，且/⑶0,,5丿2又*.

6、*meZ,:.m—0或1.当〃?二0时，一2加'+加+3=3为奇数(舍去)；当加=1时，—2tn2+/??+3=2为偶数.故m的值为1,/(x)=x2.评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础.类型二：求解存在性问题例2已知函数f(x)=x设函数+(2q-1)/(%)+1,问是否存在实数g(g<0),使得g(x)在区间是减函数，口在区间(-4,0)±是増函数？若存在，请求出來；若不存在，请说明理由.分析：判断函数的单调性时,可以利用定义，也可结合濒数的图象与性质进行判断，但要注

7、意问题中符号的确定，耍依赖于自变量的取值区间.解:V/(x)=x2,则g(x)=-qx4+(2q-)x2+1.假设存在实数q(q<0),使得g(x)满足题设条件，设兀]0,要使g(x)在(一一4]上是减函数,则应有q(彳+x；)-(2彳一1)<0恒成立.X

8、v—4,毛~4，•:xj"+x；>32.ifijq<0,・；+xf)<32q..从而要使讥彳+球）<2g

9、-1恒成立，则有2q-&32q,即qW-—.若兀],x2e（-4,0）,易知（x,+x2）（x2-xj<0,要使/（x）在（-4,0）Ji是増函数，则