《高等数学教学资料》05第五节功水压力和引力

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1、笫五节功水压力和引力分布图示★变力沿直线所做的功★例2★例4★例6★例8★课堂练习★例3★例5★例7★例9★例1★水压力★引力★内容小结★习题6・5★返回内容要点一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力例题选讲变力沿直线所作的功例1(EO1)设40牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长成15厘米，问需要作多大的功才能克服弹性恢复力，将伸长的弹簧从15厘米处再拉长3厘米？解如图6-5-1,根据胡克定律，有F(x)=kx.当弹簧从10厘米拉长到15厘米时，它伸长量完为5厘米=0.05米.因有F(0.05)=40,即0.05k=40,

2、故得k=800.于是可写出F(x)=800%.这样，弹簧从15厘米拉长到18厘米，所作的功为f0.08aW二L8°°皿=400/0.080.05=400（0.064一0.025）=1.56（焦）.例2(E02)把一个带+g电量的点电荷放在厂轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为尸的地方，那么电场对它的作用力的大小为F=k-^r伙是常数).r如图652所示，当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿尸轴移动到r-b处时，计算电场力F对它所作的功.解取厂为

3、积分变量，re[a,b],任取一小区间[r,r+t7r],b,fin=kq“3b丿（性d’kq丄Ja厂r功微元：dW=^dr,所求功为厂W二如杲要考虑将单位电荷从点a移到无穷远处+oo例3在底而积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到b处.计算在移动过程中，气体压力所作的功.解如图，活塞的位置可用坐标兀表示.由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强°与体积V的乘积是常数匕B

4、J心或嗨因为V=xS,所以p=—.xSkk故作用在活塞上的力F=p-S=—^

5、S=-.xSx在气体膨胀过程中，体积V是变的，因而兀也是变的，所以作用在活塞上的力也是变的.取乂为积分变量，它的变化区间为［a.h］,设［x,x+djc］为［a,b］上任一小区间.当活塞从兀移动到x+dx时，变力F所作的功近似于-dx,即功微元为dW二纟必XXbkbi于是所求的功为W=-dx=k［x^=k-・Jax(la例4一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？解建立如下坐标系，取兀为积分变量，［0,5］,取任一小区间［x,x+dx,这一薄层水的重力为9.8/32

6、敗功微元dW=88.2兀•x•dx,所求功例5设有一直径为20m的半球形水池，池内贮满水，若要把水抽尽，问至少作多少功.解如图，选取区间微元［兀兀+心］,相应该微元上的一层水的体积△V=初2心二龙(］00_兀2)心伽3),抽出这层水需作的功为AW-gp兀(100-x2)Ar•%=g%v(l00—x2)Ax(焦)其中p=1000(kg/"d)是水的密度，g=9.S(m/s2)是重力加速度.故微元dW=g7vpx(100-x2)dx.所求功为w=『g%Y（l00-x2）dx=无（100—/）心=g空x10°=2500%g=7.6

7、93x107（焦）.水压力例6(E03)一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为7?,水的比重为卩，计算桶的一端面上所受的压力.解在桶一端面建立如图坐标系，取兀为积分变量，xw［0,R］,取任一小区间［x,x+rfx］,小矩形片上各处压强近似相等p=n小矩形片的压力微元为dP=2沪一兀2心，端而上所受的压力P=『2於QR2_Fdx=_九；J/?2一兀2〃(r2_x2)"占(何〒)3卜沙.例7将直角边各为a^2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，

8、求薄板所受的侧压力.解建立如图坐标系，収任一小区间lx,x+dx］,面积微元2(a-x)dx,压力微元dP=（兀+2a）•y・2（a一x）dx,所求压力ra7qP=［（兀+2a）•/•2（ci一x）dx=—•引力例8(E04)假设有一长度为/、线密度为p的均匀细棒，在其中垂线上距棒d单位处有一质量为加的质点M,试计算该棒对质点M的引力.解建立如下坐标系，取y为积分变量)疋-£，£，任取一微元［y,y+dy］,小段与质22点的距离为r-J/+b，小段对质点的引力AF":卩忙,a+)厂水平方向的分力微元dFx=-kamPdy(/

9、+y2)2d_f?iampdy_-Ikmpl的=LLk=-，2(a2+y2)2°(4/+厂)2由对称性，在铅直方向分力为Fv=0.)例9计算半径为G,密度为“，均质的圆形薄板以怎样的引力吸引质量为加的质点P.此质点位于通过薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直线上，最短距离PQ等于h.解建立如