《高等数学教学资料》05第五节隐函数微分法

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1、第五节隐函数微分法分布图示★一个方程的情形★一个方程的情形（续）★例1★例3★例6★例2★例4★例7★例5★方程组的情形★例8★例9★例10★内容小结★课堂练习★习题8-5★返回内容要点一、一个方程的情形定理1设函数F（x,y）在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且Fv（xo,yo）^O,F（Jvo,yo）=O,则方程F（_x,y）=0在点P（x0,y0）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数歹=/（兀），它满足旳=/（无0）,并有dydx(5.2)定理2设函数F（xjz）在点P（%y°,Z

2、o）的某一邻域内有连续的偏导数，且Fg，北，z°）=0,Fz（勺,北，z°）北0,则方程F（x,y,z）=Q在点P（x（）,y（）,z°）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=/（X,>9,它满足条件Z°=/（Xo，%）），并有dzFdzFvdxFz'dyF.(5.5)二、方程组的情形定理3设F（x，w）、G（x,y.u.v）在点P（x°丿（）上。川））的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，又F(x0,y0,w0,v0)=0,G(x0,yo^wo»vo)=且函数F、G雅可比行列式J=

3、呷。在点O(w,v)P（So上0*0）不等于零，则方程组F(x,y,u,v)=OG(x,v)=0在点P(Xo*o2o2o)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具冇连续偏导数的函数U=u(x,yv=v(x,y它们满足条件“0=w(x0,y0),v0=咻0，)))，其偏导数公式由(5.9)和(5.10)给出.d(F,G)dud(x,v)dxd(F,G)'0(",V)d(F,G)dud(y,v)dyd(F,G)，v)0(F,G)dv_d(仏x)dxd(F,G)d(",v)d(F,G)Dv_。仏y)矿一d(

4、F,G)d(仏v)(5.9)(5」0)例题选讲一个方程的情形例KE01)验证方程X2+-1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数、当兀=0时y=l的隐函数y=/(x)，求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值.证令F(x,y)=F+$2_],则Fx=2兀,Fy=2y,&(0,1)=0,F/OJ)=2HO,依定理知方程F+y2_]=0在点Qi)的某领域内能唯一确定一个有连续导数，当兀=0时y=1的隐函数y=f(x函数的一阶和二阶导数为冬上=_兰,冬=0dxFyy'dxx=0'例2求由方程q，_

5、/+R=0所确定的隐函数y的导数空,©「()•dxdx解此题在第二章第六节采用两边求导的方法做过，这里我们直接用公式求Z.令F=xy-ex+ey,则F*=y~eFy=x+ey,©=_fx_=eX-yclxFyx+ey由原方程知兀=0时，y=0,所以dy_dxx=0x+ey=1.例3求由方程z3-3xyz=6/3(6/是常数)所确定的隐函数z二/(x,y)的偏导数尹和UXdzdy解令F(x,y,z)=z‘-3xyz-a3,则F；=-3yz,F；=-3xz9F：=3z2-3xy.显然都是连续.所以，当F；

6、=3z2-3xy^0吋，由隐函数存在定理得dz=&-3yzyzdxF；3z2-3xyz2-xy"dzFy-3xzxz~~"——dyF：3z2-3xyz2-xy例4(E02)设兀2+y2+z?_4z=0,求d2za?*解令F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,则Fx=lx.Fz=2z-4,dz_Fv_xdxF,2-zdzx克二(2y)+入忑=(2—z)+x主」2-z)2+Fdx2_(2-z)2_(2-z)2_(2-z)3注：在实际应用屮，求方程所确定的多元函数的偏导数时，不一定非得套公式，尤其在方程中

7、含有抽象函数时，利用求偏导或求微分的过程则更为清楚.例5(E03)设z=f(x+y+z,xyz),寸dzdxdyz看成Hy的函数对x求偏导数得dz)+—dx)dzdz二九+y叭*dx1-A-xyfv把x看成z,y的函数对y求偏导数得o=A-(dx/'dx}+/v•xz+yz—<心丿1=力+X对v勿fu+yzfv!把y看成x,z的函数对z求偏导数得(dy>—+1dz丿+Jv'xy+xz—

8、hO,求证dzdz1dxdy证由题意知方程确定函数z=z(x,y).在题设方程两边取微分，得dF(x一y,y-z,z-x)=dO=0,即有F；d(x一y)+F；d(y一z)+F：d(z-x)=0.F；(dx-dy)+F{(dy-dz)+F；(dz-dx)=0.合并得(幵-F)dx+(F；-F；)dy=(F{-F；)dz,解得从而于是dzdz_F；-F；dz_/s-无一F；_F；'dy一F；_F；3z+3z=F；-F；=1dxdyF；-F；2