资源描述：
《《高等数学教学资料》05第五节函数极限与最大值最小值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五节函数的极值与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，两数先是单调增加(或减少)，到达某一点后又变为单调减少(或增加)，这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例3的图3・4・5中，点兀=1和兀=2就是具有这样性质的点，易见，对兀=1的某个邻域内的任一点兀(21),恒有f(x)/(2),即曲线在点(2,/(2))处达到“谷底”.具有这种性质的点在实际应用中有
2、着重耍的意义.由此我们引要入函数极值的概念.分布图示★函数极值的定义★函数极值的求法★例1★例2★例3笫二充分条件★例4★例5★例6最大值最小值的求法★例7★例8★例9★例10★例11★例］2内容小结★课堂练习★习题3・5★返回内容要点一、函数的极值极值的必要条件第一充分条件与第二充分条件求函数的极值点和极值的步骤(1)确定函数/(兀)的定义域，并求其导数;(2)解方程fx)=0求出于(兀)的全部驻点与不可导点；(3)讨论厂(劝在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点；(4)求
3、出各极值点的函数值，就得到函数/(兀)的全部极值.二、函数的最大值与最小值在实际应用屮，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容暈最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题.求函数在创上的最大(小)值的步骤如下：(1)计算函数/(兀)在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；(2)对于闭区间［d,b］上的连续函数/(兀)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点,并且函数在该点确
4、有极值，则这点就是函数在所给区I'可上的最大值(或最小值)点.例题选讲求函数的极值例1(E01)求出函数/(%)=x3-3x2-9x4-5的极值.解f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x一3),令f(x)=0,得驻点x1=-l,x2=3.列表讨论如下：X(―-1)-1(-1,3)3(3,4-°°)•厂⑴+0——0+f(x)f极大值1极小值t所以，极大值/(-!)=10,极小值/(3)=-22.例2(E02)求函数的极值.解⑴函数f(兀)在(-oo,+oo)内连续，除x=-l外处处可导，且厂(无)
5、=孝二2;3沿+1(2)令fx)=0,得驻点x=l;兀=-1为/*(兀)的不可导点;(3)列表讨论如下：(-00,-1)-1(-1,1)1(1,+呵/'(X)+不存在—0+/⑴f极大值1极小值t⑷极大值为/(-1)=0,极小值为/⑴=-3^4.3例3求函数y(x)=x-jx2/3的单调增减区间和极值.解求导数=当"1时八0)=0,而x=0时/©)不存在，因此，函数只可能在这两点取得极值.列表如下：X(一8,0)0(0,1)1(1,+°°)fx)+不存在—0+fM/极大值0极小值-丄2/由上表可见：
6、函数/(兀)在区间(_oo,0),(l,+oo)单调增加，在区间(0,1)单调减少.在点x=()处有极大值，在点兀=1处有极小值/(I)=如图.例4(E03)求出函数/(x)=x3+3x2一24兀-20的极值.解f(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(兀—2),令fx)=0,得驻点册=-4,勺=2.又/'(x)=6x+6,・・・/"(-4)=—18vO,故极大值于(一4)=60,/*(2)=18>0,故极小值/(2)=-4&注意：1./"(必)=0吋，/(X)在点勺处不一定収极值，仍用第一充分条
7、件进行判断.2.函数的不可导点，也可能是函数的极值点.例5(E04)求函数f(x)=(X2-厅+I的极值.解由/，(x)=6x(x2-I)2=0,得驻点可=一1,七=0*3=1.fx)=6(x2-l)(5x2-1).因fx)=6>0,故/(x)在x=0处収得极小值，极小值为/(0)=0.因厂(-1)=厂⑴=0,故用定理3无法判别.考察一阶导数fx)在驻点册=-1及勺=1左右邻近的符号：当兀取-1左侧邻近的值时，f(x)<0;当兀取-1右侧邻近的值吋，f(x)<0;因厂(兀)的符号没有改变，故/(
8、兀)在x=-l处没有极值.同理，/(兀)在x=l处也没有极值.如图所示.例6求出函数/W=1-(x-2)2/3的极值.2--解f'M=-一(兀-2)'("2).x=2是函数的不可导点.当xv2时，f(x)>0;当x>2时，.厂(兀)v0././(2)=1为/(兀)的极大值.例7(E05)求y=2疋+3兀$_12x+14的在［-3,4］上的最大值与最小值.解*«*=6(x+2)(兀一1),解方程fx)=0,得x,=-2,x2=1.计算/(-3)=23;/
