05第五节函数极限与最大值最小值

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1、第五节函数极限与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的悄形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后乂变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发牛变化的分界点.如在上节例3的图345中，点兀=1和x=2就是具有这样性质的点，易见，对x=l的某个邻域内的任一点x（21）,恒有于（兀）5）,即曲线在点（1/（1））处达到“峰顶”;同样，对兀=2的某个邻域内的任一点x（x^2），恒冇f（x）>/（2）,即曲线在点（2,/（2））处达到“谷底”.具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义.山此我们引要入函数极值的概念.分布图示★函数

2、极值的定义★函数极值的求法★例1★例2★例3第二充分条件★例4★例5★例6最人值最小值的求法★例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13内容小结★课堂练习★习题3・5★返回内容要点一、极值的概念二、极值的必要条件三、第一充分条件与第二充分条件四、求函数的极值点和极值的步骤：（1）确定函数/（x）的定义域，并求其导数广（切；（2）解方程广（x）=0求出/（x）的全部驻点与不可导点；（3）讨论广（x）在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值占■（4）求出各极值点的函数值，就得到函数f（x）的全部极值.五、求函数的最大值与最小

3、值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最人等•此类问题在数学上往往可归结为求菜一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在［a,b］±.的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数于（兀）在一切可能极值点的函数值,并将它们与f（a）,f（b）相比较,这些值小最大的就是最人值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间［d,b］上的连续函数/W,如果在这个区间内只有一个可能的极值点,并R函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的授大值（或最小值）点.例题选讲求函数的极值例1(E01)求

4、出函数/(x)=x3-3x2一9x+5的极值.解fx)=3x2-6x-9=3(兀+1)(兀一3)，令fr(x)=0,得驻点州=-1,x2=3.列表讨论如下：X-1(-1,3)3(3,+8)广⑴+0—0+/(X)t极大值1极小值t所以，极大值/(-1)=10,极小值/⑶=-22.例2(E02)求函数/(兀)=(兀一4对(兀+1尸的极值.解(1)函数/⑴在(y),+Q内连续，除x=-外处处可导，且广(0=半2;3嶺+1(2)令fx)=0,得驻点x=1;x=-1为/(x)的不可导点；(3)列表讨论如下：1(-1,1)1(1,+8)广⑴+不存在——

5、0+fMt极大值极小值t⑷极大值为/(-I)=0,极小值为/(I)=-3^4.例3求函数f(x)=x--x2/3的单调增减区间和极值.解求导数广=当兀=1时广(0)=0,而x=0时广(x)不存在，因此，函数只可能在这两点取得极值.列表如下：X(-8,0)0(0,1)1(1,+8)广(兀)+不存在—0+/W7极大值0极小值-丄27山上表可见：函数/(X)在区间(-00,0),(1,4-00)单调增加，在区间(0,1)单调减少.在点x=0处有极大值，在点x=1处有极小值/(!)=-£,如图.例4(E03)求出函数f(x)=x3+3x2-24x-20的

6、极值.解广(x)=3兀2+6x-24=3(x+4)(兀-2),令f(x)=0,得驻点=-4,x2=2.乂/7x)=6x4-6,・・・厂(-4)=_18v0,故极大值/(-4)=60,厂(2)=18>0,故极小值/(2)=-4&注意:l.rUo)=OHt门力在点勺处不一•定取极值，仍用第一充分条件进行判断.2.函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例5(E04)求函数f(x)=(x2-I)?+1的极值.解由ff(x)=6x(x2-1)2=0,得驻点xf=-l,x2=0,x3=l.fx)=6(x2—l)(5x2-1).因/ff(x)=6>0,故/'

7、(x)在x=0处取得极小值，极小值为/(0)=0.因八-1)=厂(1)=0,故用定理3无法判别.考察一阶导数广(兀)在驻点A.=-l及勺=1左右邻近的符号：当X取-1左侧邻近的值时，广(x)<0;当兀取-1右侧邻近的值时，广⑴<0;因广⑴的符号没有改变，故/⑴在x=-处没有极值.同理，/⑴在x=l处也没有极值.如图所示.例6求出函数/(x)=1-(兀-2严的极值2-丄解广(切=一一(x-2)3(兀工2).兀=2是函数的不可导点.当兀<2时,f(x)>0;当x>2时，广(兀)<0.."(2)=1为/(兀)的极大值.例7(E05)求y=2x3+3x

8、2-12x+14的在［-3,4］上的最大值与最小值.解vfx)=6(x+2)(%-1),解方程广(兀)=0,得X］=-2,七=1.计算