05 第五节 函数极限

《05 第五节 函数极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第五节函数的极限数列可看作自变量为正整数n的函数:,数列的极限为，即：当自变量取正整数且无限增大时，对应的函数值无限接近数.若将数列极限概念中自变量和函数值的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，则就称为在该变化过程中函数的极限.显然，极限是与自变量的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式.本节分下列两种情况来讨论：1、自变量趋于无穷大时函数的极限；2、自变量趋于有限值时函数的极限.分布图示★自变量趋向无穷大

2、时函数的极限★例1★例2★例3★自变量趋向有限值时函数的极限★例4★例5★例6★例7★左右极限★例8★例9★例10★例11★函数极限的性质★子序列收敛性★函数极限与数列极限的关系★内容小结★课堂练习★习题1-5内容要点一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限三、左右极限的概念四、函数极限的性质：唯一性有界性保号性五、子序列的收敛性例题选讲自变量趋于无穷大时函数的极限例1(E01)用极限定义证明证因为于是可取则当时,恒有故证毕.例2(E02)用极限定义证明证对于任意给定的要使只要即就可以

3、了.因此，对于任意给定的取则当时，恒成立.所以注:同理可证：当时，而当时，例3证明证由，现在，令于是，若取则当时，就有即证毕.自变量趋于有限值时函数的极限例4(E03)设，问等于多少时，有：当时，?解欲使，即从而,即当时，有：当时，（如图）.例5(E04)(1)证明(为常数）.证任给任取当时，恒成立，例5(2)证明证任给取当时，成立，例6(E05)证明.证函数在点处没有定义,任给要使只要取则当时,就有例7证明:当时,.证任给要使只要且取则当时,就有左右极限的概念例8验证不存在.证左右极限存在但不相等.不存在.

4、例9(E06)设求.解因为即有所以不存在.例10设求解是函数的分段点，如下图.两个单侧极限为左右极限存在且相等，故例11(E07)设求解在处没有定义，而，故不存在.课堂练习1.设函数,试问函数在处的左、右极限是否存在?当时,的极限是否存在?2.若且问:能否保证有的结论?试举例说明.