数值分析课程课件,内容自己看

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1、4.6.2差商及牛顿基本插值公式：(节点非等距分布)差商概念：割线法中曾涉及到：设在互异点的值分别为则关于点的一阶差商为：关于点的一阶差商为：关于点的二阶差商为:一般的,记的关于的m阶差商为对k阶差商，有以下性质(1)函数f(x)的k阶差商可由函数值线性组合得到,且有：可用数学归纳法证.特殊地,称为0阶差商.现假设k=l-1时结论成立,即有于是当k=0时,左边=右边=此时结论正确.所以对ｋ＝l时也成立.由归纳法知，该性质成立.可利用该性质简化计算差值商:例如已知f(x0)、f(x1)、f(x2),则另外，改变节点顺序，不影响差商值。②k阶商与k阶导数直接关系证明略.（同插值余项证明类似）

2、③若节点等距分布,差商与差分关系：其中h为步长，△为向前差分，▽为向后差分.利用差商构造牛顿基本插值公式（与牛顿向前插值公式类似）：由可得由可得:即为（0阶差商）∴通过n+1个非等距分布节点的n次插值公式为：余项公式：①由可得:即类似地,可得:②也可写成：∵可利用差商定义把后一式代入到前一式，可得：∴可得到Rn(x)的计算公式.具体使用②考虑误差时，可先使用牛顿插值公式求出f(x)，再使用该差商公式计算或直接由近似表示.例：使用牛顿基本插值公式，计算前面例子中的构造差商表：x一阶差商二阶差商100101211114412∴=10，=0.047619，=-0.000094使用线性插值：使用

3、抛物线插值：特点:使用抛物线插值计算时，可利用线性插值结果，不必重新计算作业：已知数据表试求f(x)的2次牛顿插值多项式及f(0)的近似值xk-112f(xk)31-14.7高次插值缺点和分段插值适当提高插值多项式次数（增加节点处），有可能提高计算结果的精确度.这是因为：与f(x)高阶导数有关,即要求高阶导数存在，且具有一定的界.举例：区间[-1,1]上的函数当k=10时，构造的拉格朗日插值,如下图:前面的例子可看出：但不能得出结论：插值多项式次数越高越好.发现局部区域精确较高，其他区域误差较大。∴可采用分段低次插值方法构造将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上低次插值.4.7.1分

4、段线性插值，在[]区间内做线性插值，(使用拉格朗日插值方法构造)拟合曲线光顺性差。对两个相邻节点4.3.3分段二次插值(抛物线插值)对三个相邻节点，在区间内做二次插值，当插值节点个数n为偶数时，当n为奇数时:其中为其节点的抛物线插值.采用分段插值时，需保证节点处具有一定的几何连续性，通常要求具有一定的二阶导数连续(曲率相关)，这里称为样条Spline函数。∵要求二阶导数连续∴通常使用三次多项式构造样条插值函数.4.8.1三次样条插值函数问题：给定函数表f(x)xx0x1…xnyy0y1…yn其中，若函数S(x)满足：4.8样条插值函数①S(x)在每个子区间（i=1,2,……,n）②在[a

5、,b]上连续③满足（i=0,1,2,……,n）则称S(x)为函数f(x)关于节点的三次样条插值函数.可使用表示在第i个子区间上的表达式:其中,（j=0,1,2,3）为待定系数所以共需确定4n个系数即可.上是不高于3次的多项式,由条件②和③可得：（左函数=右函数）（左右函数一阶导数相等）（左右函数二阶导数相等）共有4n-2个方程求解4n个未知数。还缺2个条件，还须给出2个附加条件.通常给出区间端点处的边界条件，常用边界条件有：①给定一阶导数值②或给定二阶导数值，4.8.2三次样条插值函数求解用上面的4n个方程求解4n个未知数，计算量大，可使用下面的三对角方程组求解。设有节点处s(x)的二阶

6、导数为:（边界条件也满足二阶导数值）∵是不高于3次的多项式,∴在每个区间内是关于x的线性函数或常数，由拉格朗日插值可表示为:x∈[xi-1,xi]记hi=xi-xi-1，则有：可连续两次积分得：其中Ai、Bi为积分常数，可利用插值条件求得：将Ai、Bi代入中，并化简(利用)得：（x∈[xi-1,xi],i=1，····，n）①在①中，只要求出Mi(i=1，····，n)，则可得到为求Mi，再利用一阶导数连续性质(xi处左导数=右导数)即→（当x∈[xi,xi+1]）↓（当x∈[xi-1,xi]）对①求导数得：②(x∈[xi-1,xi]时)在②中令x=xi可得对式②，再将i改成i+1得：上

7、式中令x=xi得：∴可得方程：(x∈[xi,xi+1]时)方程两边整理（同乘上）得：（i=1，2，……，n-1）记（差商形式）可得:（i=1，2，……，n-1）即③n+1个未知数求解，有n-1个方程,再利用已知边界条件（二阶导数）：式③即为：三对角方程组，使用追赶法求解Mi（i=1，2，……，n-1）对其它边界条件（如一阶导数已知），也可类似求解：若边界已知条件为一阶导数，即：由②可知S(x)在上的导数为：∴由可得：，即同理由得，同