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《第十章定积分的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十章定积分的应用在上一章引入定积分概念吋，曾把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程表示为积分和的极限，即要用定积分来加以度量。事实上，在科学技术中采用“分割、作和、取极限”的方法去度量实际量得到了广泛的应用。本章意在建立度量实际量的积分表达式的一种常用方法——微元法，然后用微元法去阐述定积分在某些几何、物理问题中的应用。§1平面图形的面积教学目标：掌握平而图形而积的计算公式.教学内容：平面图形面积的计算公式.(1)基本要求：常握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所定义的平面图形面积的计算公式.
2、(2)较高要求：提出微元法的要领.教学建议：(1)本节的重点是平面图形面积的计算公式，耍求学生必须熟记并在应用中熟练掌握.(2)领会微元法的要领.教学过程：1、微元法h众所周知，定积分/,卩"肚是由积分区间["血及被积函数/⑴所决定的，而定积分对积分区间具有可加性，即如果把积分区间作为任意划分△:兀o=av兀1v七v•••v<£=b记心匸门皿k=l,2,.：,n把积分值看作是分布在上的总量，△人看作是在[耳“母」上的局部量，由积分性质Jt=l可见总量等于各个子区间上对应的局部量之和。因此，凡是用定积分描述的
3、量都应具有这种基本特征——对积分区间的可加性。另一方面,若/⑴wC[a,b],则积分上限函数心)=打(")如关于积分上限兀的导数厂⑴=/(兀)，于是用定积分度量的量二打⑴d「驰£兀灯曲k=S血上的任意标准子区间x,x+Ax］上所对应的局部量A/的近似值/（兀）心就是/（"）在点％处的微分刃，即A/-f(x)心=di(10.1)且AZ-d/=A7-/（兀）山=。（心）。所以，用定积分度量的量/在S+M一上的局部量A/所需要的近似值应是（10.1）表示的心的线性函数/（刃山，并口与“之差为心的高阶无穷小。通常
4、，把式（10.1）中的局部量A/的近似值dI=f^dx称为积分微元。此吋总量I=f刃=£/（x）t/x这种建立总量的积分表达式的方法，通常称为微元法。2、平面图形的面积下而我们根据不同坐标系下的曲线方程来建立平而图形而积公式。（1）直角坐标系下计算平面图形的面积，首先考虑介于两曲线）=/（兀）（€°［。,切）,y=g（x）（eC［a,b］）及直线x=a,x=b所围成的平面图形（图6.1）的面积”。曲于面积/是非均匀连续分布在区间［讪上且对区间具有可加性的量，所以面积/可以用定积分来计算。根据微元法，取在其上
5、小曲边梯形ABCD的高可近似看成不变的,可以用高为AD,宽为山的小矩形的而积近似代它的面积人旷［。血上的标准子区间替，即于是所求图形的面积Act=(工)_g(兀)
6、Ar=d(ydx(10.2)特别，如果列兀）=°,由连续函数）=/（兀）、兀轴及二直线“a与x=b所围成的平面图形（图6.2）的面积(10.3)22例1、求由抛物线＞=兀与y二兀所围成的平面图形（图6.3）的面积”。求得交点（°'°）与由公式（6.1）知此图形的面积例2、求由抛物线兀=1-2），与直线）ux所围成的平而图形（图6.4）的而积。解：
7、解联立方程、（丄丄）求得交点（T'T）和2'2。此时，取歹为积分变量比较方便，和应的积分区间为L2例3：求
8、1心
9、+
10、1叮
11、=1所围图形的面积。lnx+lny=1包括两条双曲线e1_y~—y兀与汝和两条直线yy兀与解：方程I图6.3o它们所围面图形所示。联立方y=-X1y=—exy-exxy=-e解得交点，1）、（1,0）、（1,€）CD,故所求面积例4、设"最小的k与化1exex---dxex[a’b],a>0,也+qninx,求使/=f(kx+q-Inx)dxk—（］nx），~解：若使积分/最小，此时直
12、线十q应与曲线＞=相切，故一"£x,切点坐标为伙二Tn幻，故切线方程为y=kx-l-k从而/)一(1+In£)(b-a)-(/?In-aIno-b+d)=0di~dkr2-a+btd2Ib-a八，2(a+b(k=q=In1—=——>0k=q=In1解得驻点Q+几此吋2,dk~1C,所以当o+b,2,I的值最小。(2)极坐标系下计算平而图形的而积。设曲线的极坐标方程是z「⑹，求它与射线i、&=0所围成的曲边扇形(图6.6)的面积”。其中r=r(0)EC［a,/3］Q取极角&为积分变量，它的变化范围为区间I
13、%"】，则曲边扇形的面积”可看作是展布在［久0】上的量。根据微元法，取匕'0］上的标准子区间［%+△&】，在其上的小曲边扇形的面积口J用半径为厂(&)、中心角为△&的圆扇形面积来近似代替，即△er=*尸⑹△&=dcr丁•是所求曲边扇形的而积为(10.4)a=tda=trl^de特别如图6.7所示的平面区域的面积(6.4)同理，设图形是由极坐标方程2斤（&）、厂巳⑹⑴⑹>“⑹）确定的二曲线与射线&=Q、0=0（0
