《例题分析》PPT课件

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(一)函数概念例1下列关系中，()表示y是x的函数.(a)y=c(c为常数)(b)x=a(a为常数)(c)y=ln(–x)(d)y=ln(–x2)解(a)表面上看“y=c”不含x，但它表示“无论x取什么数值，总以数值c与之对应”，符合函数定义，因此y=c是函数.(b)x=a只表明x取值为a，没有说明对应的y值，不符合函数定义，因此x=a不是函数.例题分析 (c)要使对数有意义，真数应该大于零，即–x>0，因此只要x<0就行.所以y=ln(–x)是定义域为(–∞，0)的函数.(d)要使ln(–x2)有意义，则要求–x2>0.而实际上任何一个实数都不能满足这个不等式.所以y=ln(–x2)不是函数.本题应选(a)，(c). 例2下面各式中的函数是否相同().(a)y=ln[x(x–1)]与y=lnx+ln(x–1)；与y=ln(1–x)–lnx.解(a)y=ln[x(x–1)]的定义域中的x应满足x(x–1)>0，于是有 所以y=ln[x(x–1)]的定义域为而y=lnx+ln[x(x–1)]的定义域中的x应满足所以y=lnx+ln[x(x–1)]的定义域为(1,+∞).两个函数定义域不同，因此不是相同的函数. (b)的定义域中的x应满足，于是有所以的定义域为(0,1).y=ln(1–x)–lnx的定义域中的x应满足 两函数有相同的定义域和相同的对应规则，因此是相同的函数.所以y=ln(1–x)–lnx的定义域是(0,1). 例3确定函数的定义域.(二)函数定义域解当x2–3x–4≠0时，有意义.由x2–3x–4≠0可得(x–4)(x+1)≠0，即x≠–1且x≠4.而对于任意的实数x，奇次根式都有意义.所以函数的定义域是 解偶次根式要求被开方数非负，即3x–2≥0；对数的真数为正，即5–x>0；分式的分母不能为零，即x2–4≠0.所以函数的定义域是例4确定函数的定义域.于是有 (三)函数的性质例5下列函数中，在区间(0,2)内，哪些是有界的？哪些是无界的？解由xy=–2可知，y=log5x，当x接近于0时，y无界.同理对于y=log5x，x接近于0时，也是无界的.函数和y=arccotx在区间(0,2)内是有界的. 例6判断下列函数的奇偶性所以f(x)是偶函数.解(1) 所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.所以f(x)是奇函数.(2)f(–x)=[(–x)2+(–x)]sin(–x)=(x2–x)(–sinx)=–(x2–x)sinx，f(–x)≠f(x)且f(–x)≠–f(x)， 例7判断函数当x→1使得极限是否存在.(四)函数的极限解当x→1+时，当x→1–时， 由于函数在x=1处的左极限不存在，有极限存在的充分必要条件知函数在x=1处的极限不存在. 例8变量在()的变化过程中是无穷小量.(五)无穷小量(a)x→0+(b)x→0–(c)x→+∞(d)x→–∞ 应选(c)，(d). (六)极限的运算法则例9下述运算过程是否正确？n项n项 解(1)作法不正确.运用商的极限运算法则时，要求分母的极限不为零.而本题中正确作法是：由无穷小是无穷大的倒数可知， (2)作法不正确.运用乘积的极限运算法则时，要求每个因子的极限都存在.而不存在，所以不能用乘积的运算法则.正确作法是：由于无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量， (3)加法的极限运算法则只适用于有限项作和，而本题中不是有限项作和，故不能使用.正确作法是：n项 (七)利用两个重要极限求极限例10求下列极限解(1)很多初学者容易这样解这道题：其实，这种解法是错误的.因为第一个重要极限的极限过程是x→0，而本题中极限过程是x→π，所以不能使用来求极限. 正确的作法应该是作一个变换，使新变量在x→π时趋于零.令u=x–π，则x=u+π，u→0与x→π是等价的，于是 (2)本题可将原函数分解，然后利用教材第6节例5的结论来求. (3)本题是幂指函数，应利用第二个重要极限.因为它的底数不是标准形式，应先化成1与一个无穷小量的和.令u=2+x，则原式=.由于x→∞相当于u→∞，所以由教材中公式(1.5.10)知 (八)含有型未定式的极限解先将分式的分子、分母同时有理化，然后消去无穷小因子，再求极限.例11求 (九)分式相减的型求极限解先通分，然后消去无穷小因子，在求极限.例12求 例13若，求k.(十)根式相减的型求极限解由，当x→–∞，，于是