分蛋糕博弈之我见

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1、分蛋糕博弈两个人分蛋糕博弈，但有先后次序，由甲负责分为两份，但乙先挑，在以下情况下分析其理性结局是什么（假设蛋糕无限可分，而且双方都知道以下事实），并分析局中人是否愿意更换角色：问：（2）蛋糕分两部分，一部分是奶油蛋糕，另一部分是冰淇淋蛋糕，甲喜欢奶油蛋糕，认为值10元，冰淇淋蛋糕值6元，乙喜欢冰淇淋蛋糕，认为它值12元，奶油蛋糕仅值4元；求解：因为蛋糕是由甲来分，由乙来先选的，所以甲的策略必然是在自己不吃亏的情况下，保证乙要同意自己的方案，而且能取出得最大利益。这样的话，我们得出两个约束条件：一、“自己不吃亏”——在甲的“价值观”看来，甲的利益不能低于

2、乙的利益；二、“保证乙会同意自己的方案”——在乙的“价值观”看来，甲的利益不能高于乙的利益。首先我们先理清题意：现在的情况是，甲和乙有两个蛋糕，奶油蛋糕和冰淇淋蛋糕。甲负责把这两个蛋糕切成两份，然后由乙来先挑自己的那一份。我们假设甲在分蛋糕的时候，是想把奶油蛋糕的X和冰淇淋蛋糕的Y留给自己，而希望乙会如愿接受奶油蛋糕的（1-X）和冰淇淋蛋糕的（1-Y）。同时，设在甲的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是；在乙的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是。那么，由题意可得，=10*X+6*Y①=10*（1-X）+6*（1-Y）=16-10*X+6*Y②=4*

3、X+12*Y③=4*（1-X）+12*（1-Y）=16-4*X+12*Y④由约束条件一，可得>=5*X+3*Y>=4⑤由约束条件二，可得<=X+3*Y<=2⑥另外，0<=X<=1⑦0<=Y<=1⑧那么原题意可转化为求函数=10*X+6*Y在约束域⑤⑥⑦⑧下的最大值，也就是求函数⑨在y轴上的最大截距，其中约束域为⑤⑥⑦⑧。做出线性规划图像，如下图一图一中红色区域就是问题的解的可行域，就是说，区域内任意一个解（x，y）都是甲乙双方可以接受的分配方案。易知，当函数⑨在位置一时，取得可行解中的最小值，此时解（x，y）有无限个，=8；当函数⑨在位置二时，取得可行解

4、中的最大值，此时，x=1，y=，=12。通过观察图像与求解的结果，我们不难发现，如果由甲来负责切蛋糕的话，甲可以得到价值最大的那份蛋糕，使得自己利益最大化（从甲的“价值观”来看）。现在我们考虑一下一下情况：如果甲乙更换角色，由乙来负责切蛋糕，由甲来先选。同样地，假设乙在分蛋糕的时候，是想把奶油蛋糕的m和冰淇淋蛋糕的n留给自己，而希望乙会如愿接受奶油蛋糕的（1-m）和冰淇淋蛋糕的（1-n）。同时，设在甲的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是；在乙的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是。同理可得，5m+3n<=4(10)m+3n>=2(11)0<=m<=

5、1(12)0<=n<=1(13)目标函数为=4m+12n(14)则可以做出一下的线性规划图像，图二同样地，红色区域内任何一个可行解（m，n）都是甲乙双方可以接受的分配方案。易知，当函数（14）在位置一时，取得可行域内的最小值，此时解（m，n）有无限个，=8；当函数（14）到了位置二时，取得可行域内的最大值，此时有最优解（，1），=12.8。与第一种情况类似，如果由乙来切蛋糕的话，乙也可以得到价值最大的那份蛋糕，使得自己利益最大化（从乙的“价值观”来看）。结论，①、如果由甲来切蛋糕的话，甲最理想的策略是把全部的奶油蛋糕和的冰淇淋蛋糕分成一份，剩下的为另一份

6、。这样乙必然会选择后者，而甲可以选择前者，从而实现自己利益的最大化。②、经过以上的求解可知，负责切蛋糕的人可以实现自己利益的最大化，所以甲不会同意更换角色，而乙则希望更换角色。问：（3）更一般，甲认为奶油蛋糕价值a元，冰激凌蛋糕值b元，a大于b，乙相应评价则分别是c和d，c大于d；我们可以建立一个与问题（2）中第一种情况类似的模型，只是参数不一样了。假设甲在分蛋糕的时候，是想把奶油蛋糕的x和冰淇淋蛋糕的y留给自己，而希望乙会如愿接受奶油蛋糕的（1-x）和冰淇淋蛋糕的（1-y）。同时，设在甲的“价值观”看来，甲的利益是，乙的利益是；在乙的“价值观”看来，甲

7、的利益是，乙的利益是。那么，由题意可得，=ax+by(15)=a+b-(ax+by(16)=dx+cy(17)=c+d-(dx+cy)(18)由约束条件一，可得>=ax+by>=(a+b)(19)由约束条件二，可得<=dx+cy<=(c+d)(20)另外，0<=x<=1(21)0<=y<=1(22)目标函数=ax+by(23)由（19）我们可以得到可行域的一个边界函数为(24)由（20）我们可以得到可行域的另一个边界函数为(25)易知，函数（24）与函数（25）必然相交于点（，），此外函数（24）经过点B（1,(1-）），函数（25）经过点A（1,(1-

8、）），因为a>b,c>d，所以则有点B（1,(1-））在点（1,0）的下方，点A