3.5几个著名不等式

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1、3.5几个著名不等式3.5.1算术－几何平均值不等式教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。过程：平均不等式在不等式理论中处于核心地位，AG不等式（算术平均-几何平均不等式）是Hardy等名著的三大主题之一（另两个主题是Holder不等式和Minkowski不等式）。定理3.5.1：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件定理3.5.2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明：∵∴即：当且仅当时注意：1．这个定理适用的范围：2．语言表述：两个正数的算术平均数不小

2、于它们的几何平均数。三、推广：定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明1：∵24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波∵∴上式≥0从而证明2：指出：这里∵就不能保证推论：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：，当且仅当a＝b＝c时取＝。证完四、关于“平均数”的概念定义3.5.1．如果则：24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波叫做这n个正数的算术平均数叫做这n个正数的几何平均数2．点题：算术平均数与几何平均数定理3.5.3基本不等式：≥这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明。上述定理也可表述为：设，则称为的算术平均值，称为的几何平均值。则：即：，称为AG不等式，仅

3、当时等号成立。AG不等式是重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或将积的形式放大为和的形式，因此可以叙述成两个等价的共轭命题；（1）其和为S的n个正数之积，在这些数都相等时为最大，最大值为；（2）其积为T的n个正数之和，在这些数都相等时为最小，最小值为因此，AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等。AG不等式的证明：早在公元前500多年前的毕达哥拉斯时代，就有了正数的算术平均和几何平均等概念，而是欧几里得证明的。1821年Cauch

4、ay对AG不等式用反向归纳法给出了一个精彩的证明。此后对AG不等式寻求各种不同的证法，一直是人们研究的一个热点。证法1：用数学归纳法证明（分析法）：24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波从证，即要证由，只要证只需证明成立即可，以上式子可以改写为（两端同除以）：令，则上式变成（*）令则于是当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得最小值，即，所以（*）成立，从而命题成立。证法2：数学归纳法（构造法）1、当时，结论显然成立；2、假设时结论也成立，即：当时24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波由于该不等式关于是对称的，任意调动位置，，的值都不变，所以不妨假设：显然

5、，从而有，故，展开可得（*）所以即两边同时乘以得利用前面的（*）可得，从而有，命题得证。证法3：数学归纳法（构造法）1、当时，结论显然成立；2、假设时结论也成立，即：当时24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波其中故命题得证。证法4：利用凸函数的Jensen不等式证明；设是上的凸函数，，则在其中取，代入则有又由于函数是单调递增的，所以，原命题成立。证明5：利用不等式，得到，对于，有24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波n个式子相加可得所以所以，命题得证。证明6：使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（GeorgeChrystal）在其著作《代数论》（algebr

6、a）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。根据二项式定理，于是完成了从n到n+1的证明。24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波推论3：由AG不等式，我们可以得出下面的一个不等式：设，则证明：证明很简单，直接利用AG不等式就可得出这个不等式。也可利用数学归纳法证明，但是比较复杂。语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。4．的几何解释：ABD’DCab以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB则从而而半径五、例1、已知为两两不相等的实数，求证：证：∵以上三式相加：∴例2P823.5.1已知为两两不相等的实数，求证

7、：证明：与推理1的证明中间步骤一样，利用均值不等式可得。例3P823.5.1已知；，，，求证：（1）（2）证明：（1）令，则，又，所以，配方得：24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波将代入，得，将代入，得所以，得：又由于，两边平方得由得，而，若，则，与题设矛盾。故，即，所以，得（2）首先，容易证明，令，则，所以，又，而，所以，整理可得又由可得，从而得。证法2：其中函数在定义域上是单调递减的，所以，命题得证六、小结：算术平均数、几何平均数的概念24初等数学方程与不等式3.5民族学院侯林波，最难的是算