一次不定方程的解法

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1、一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．　　定理如果是互质的正整数，是整数，且方程①　　有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为其中…　　证因为是方程①的整数解，当然满足②　　因此．　　这表明，也是方程①的解．　　设是方程①的任一整数解，则有③　　③②得④由于，所以，即，其中是整数．将代入④，即得．因此可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1求的整数解．解法1将方程变形得　　因为是整数，所以应是的倍数．由观

2、察得6是这个方程的一组整数解，所以方程的解为　　解法2先考察，通过观察易得，　　所以，可取，从而　　可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程的非负整数解．解因为，所以方程两边同除以得①　　由观察知，是方程②　　的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为　　因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有③　　由于是整数，由③得

3、，所以只有两种可能．6　　当；当．所以原方程的非负整数解是，　　例3求方程的所有正整数解．　　分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．　　解用方程①　　的最小系数7除方程①的各项，并移项得②　　因为是整数，故也是整数，于是．化简得到③令（整数），由此得④　　由观察知是方程④的一组解．将代入③得，再将代入②得．于是方程①有一组解，所以它的一切解为　　由于要求方程的正整数解，所以　　解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数

4、解为，　　当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．　　例4求方程的整数解．解6　　为用和表示，我们把上述辗转相除过程回代，得　　由此可知是方程的一组整数解．于是，　　是方程的一组整数解．　　所以原方程的一切整数解为　　例5某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分货款，有多少种不同的方法？　　解设需枚分，枚分恰好支付分，于是①　　所以由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而，所以①的非负整数解为，，，　　所以，共有4种不同的支付方式．　　说明6当方程的系数较小时，而且是求

5、非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．　　例6求方程的整数解．　　解设，即，于是．于是原方程可化为①　用前面的方法可以求得①的解为（是整数）②　②的解为（是整数）③　　消去，得（都是整数）　　大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．　　例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用个钱买只鸡，问

6、公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？　　解设公鸡、母鸡、小鸡各买只，由题意列方程组①②化简得③　　③②得　　即，解得于是的一个特解为6　　由定理知的所有整数解为　　由题意知，，所以解得∴由于是整数，故只能取，而且还应满足．264187827811812812484即可能有三种情况：只公鸡，只母鸡，只小鸡；或只公鸡，只母鸡，只小鸡；或只公鸡，只母鸡，只小鸡．6