二元一次不定方程解法新论.doc

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1、2.二元一次不定方程解法新论二元一次不定方程的一般形式是ax+by=c，ab≠0。因不定方程有无穷多解，而实际问题中常要考虑它的整数解或正整数解。本文中出现的a、b、c、d、……，x、y、z、t、……等字母都表示整数，Z表示整数集合，（a，b）与[a，b]分别表示a和b的最大公约数和最小公倍数。定理一：二元一次不定方程ax+by=c有整数解（a，b）

2、c。其证明见中等师范学校《代数与初等函数》第二册p81—83。其他谈及二元一次不定方程的书籍都有证明，这里从略。利用定理一，可以判断所给的二元一次不定方程ax+by=c是否有整数解。在有解的情况下，我

3、们不妨假定a、b、c都是正整数，且（a，b）=1。定理二：若正整数a、b、c、d满足：ab=cd且（b，c）=1，那么一定有：。证明：∵（b，c）=1，故存在整数m与n使得：mb+nc=1成立，从而：令md+na=t，则。我们可以把二元一次不定方程恒等变形为ab=cd的形式，再应用上述定理解之。若a、b、c是正整数，（a，b）=1，求二元一次不定方程ax+by=c的所有整数解。解：对ax+by=c……（1），不妨设a≥b，当b=1时，ax+y=c为：ax=cy，因（a，1）=1，由定理二有：。故ax+y=c的所有整数解为。当a>b>1时，设a=bq

4、+r,0

5、，则求解非常简捷。例1求11x+15y=7的所有整数解。解：11(x+2y)=7(1+y),(注意：而不变为11(x+y)=74y)因（11，7）=1，故。例1求407x2816y=33的所有整数解。解：因（407，2816）=11

6、33，原方程可以简化为37x256y=337（x7y）=3（1y），而（37，3）=1，故。例2求13x9y=17的最小正整数解。解：13（x2y）=17（1y），因（13，17）=1，故。当t=0时，就是13x9y=17的最小正整数解。例3有两种书，甲种每本0.28元，乙种每本0.19元，问5元钱恰可买甲、乙两种书几

7、本。（西安市1978年数学竞赛试题）解：设分别买甲、乙两种书x本和y本，则原问题就是求0.28x+0.19y=5即28x+19y=500的非负整数解。因19（2x+y）=10（50+x），且（19，10）=1，由定理二有：。又x≥0，y≥0，。答：5元钱恰可买甲种书7本，乙种书16本。例4求被3除余a，5除余b，7除余c的正整数。解：由题意有：由与=，3（x2y）=bay。因（3，1）=1，。所以：N=6（ba）15t+a=6b5a15t。再由=6b5a15t，7z+15t=6b5ac。7（z+2t）=6b5act，又（7，1）=1，由定理二有：t

8、=6b5ac=7（b）b5ac=7mb5ac故N=6b5a15（7mb5ac）=70a+21b+15c105m。但N>0,。那么所求正整数N=70a+21b+15c105m。定理三：的所有整数解为：。证明：因，。证明与定理三类似，从略。利用定理三及推论求某些二元一次不定方程组的解是非常简便的。例1一支总人数是5的倍数且不少于1000的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人。求这支游行队伍的人数最少是多少？（1978年武汉市数学竞赛题）解：有题意有其中N、都是正整数。对、、应用定理三有

9、：N=[4，3，2]x+1=12x+1（x∈Z）。再由有：。那么。故符合条件的最小正整数N是1045（m=17）。答：这支游行队伍的人数最少是1045。本文发表于陕西师范大学数学系主办的《中学数学教学参考》1984年第4期，发表时署名：安康师范学校王凯（笔名）、铜川市红土中学辛苦。