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时间:2019-08-21
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1、第二节n维向量空间一、向量空间的概念二、子空间三、向量空间的基与维数四、向量的内积五、向量空间的标准正交基说明:一、向量空间的概念定义1设为维向量的集合,如果集合非空,且集合对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称集合为向量空间.1.集合对于加法及乘数两种运算封闭指例2判别下列集合是否为向量空间.解例3判别下列集合是否为向量空间.解试判断集合是否为向量空间.一般地,为定义2设有向量空间及,若向量空间 ,就说是的子空间.如例2中的二、子空间三、向量空间的基与维数定义3设是向量空间,如果个向量,且满足(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,因此它没有基.说
2、明:(3)若向量组是向量空间的一个基,则可表示为(2)若把向量空间看作向量组,那末的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.定义5四、向量的内积说明:1维向量的内积是3维向量数量积的推广,但是没有3维向量直观的几何意义.内积的运算性质定义6长度范数向量的长度具有下述性质:也称为模定理1称之为柯西-施瓦兹不等式解单位向量1正交的概念2正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组.五、向量空间的标准正交基证明3正交向量组的性质例8已知三维向量空间中两个向量正交,试求使构成三维空间的一个正交基.4向量空间的正交基即解之得由上
3、可知构成三维空间的一个正交基.解5标准正交基例如同理可知(1)正交化,取,6求标准正交基的方法(2)单位化,取例9用施密特正交化方法,将向量组正交标准化.解先正交化,取施密特正交化过程再单位化,得标准正交向量组如下例10解再把它们单位化,取求一单位向量,使它与正交.思考题思考题解答
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