信号与系统——信号分析与处理上册教学课件作者程耕国第5章节课件

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1、第5章离散傅里叶变换和快速傅里叶变换5.1引言5.2离散傅里叶变换5.3频域采样定理5.4快速傅里叶变换5.5FFT的应用举例1离散傅里叶变换（DFT）是信号分析与处理中的一种重要变换，是一种在时域和频域都取离散值的变换，变换结果是对时域离散信号频谱的等间隔采样。为了提高离散傅里叶变换（DFT）的运算效率，形成了多种快速算法，从而使其具有重要的应用价值。5.1引言25.2离散傅里叶变换5.2.1离散傅里叶变换的定义有限长序列的离散频谱得从周期序列的离散傅里叶级数的系数中来求得,即:、都是以N为周期的周期序列，的值完全可以由一个周期内的有限长序列来确定。取主值区间上

2、的序列（即主值序列），就把离散傅里叶级数变为离散傅里叶变换。3有限长序列的DFT，定义为：（5.2-1）（5.2-2）其中。式（5.2-1）称为的N点离散傅里叶变换（DFT），式（5.2-2）称为的离散傅里叶逆变换（InverseDiscreteFourierTransform,IDFT）。5.2.1离散傅里叶变换的定义45.2.1离散傅里叶变换的定义因为、只有N个独立样值，其它值均是这些样值的重复。所以在一个周期的有限长范围内计算DFS与DFT，其结果是一样的。实质上DFT就是将有限长序列作为周期序列的一个周期所进行的离散变换。DFT具有隐藏的周期性。而且DFT

3、可以看作序列傅里叶变换的近似，所以对连续函数的处理就可以代之以离散采样的处理。5例5-1若是一个的有限长序列，求其离散傅里叶变换。解：序列的DFT为：例题6如图所示：图5-1及其DFT变换(N=12)例题75.2.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系设是一个长度为N的有限长序列，对进行Z变换，比较Z变换与DFT的定义式，可以看到，当（）时，5.2.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系8即：（5.2-3）表明是Z平面单位圆上辐角为的点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以也就是对在Z平面单位圆上的N点等间隔采样值。DFT与序列傅里叶变换的关系为：（5.2-4

4、）5.2.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系9式（5.2-4）说明也可以看作序列的傅里叶变换在区间［0,2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为，这就是DFT的物理意义。显而易见，DFT的变换区间长度N不同，表示对在区间［0,2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果也不同。5.2.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系105.2.2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系图5-2DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系115.2.3离散傅里叶变换的基本性质1、线性性质2、对称定理3、时间反转定理4、序列求和5、初值定理6、序列的循环移位7、循环卷积8、帕塞

5、瓦尔定理（Parseval）9、DFT的对称性5.2.3离散傅里叶变换的基本性质121、线性性质设取，若和对应的N点DFT分别为和，则的点DFT为（5.2-5）2、对称定理设序列的N点DFT为，则当时间序列为即具有频谱序列的形状时，其对应的DFT为（5.2-6）5.2.3离散傅里叶变换的基本性质133、时间反转定理（5.2-7）4、序列求和（5.2-8）5、初值定理（5.2-9）5.2.3离散傅里叶变换的基本性质146、序列的循环移位（1）序列循环移位的定义序列，以N为周期，进行周期延拓，得到5.2.3离散傅里叶变换的基本性质15再把左偏移m位，得到最后取移位周期

6、序列的主值序列5.2.3离散傅里叶变换的基本性质16（2）时域循环移位定理设长度为N的有限长序列的N点DFT为，为的循环移位，即则(5.2-13)5.2.3离散傅里叶变换的基本性质17(3)频域循环移位定理设长度为N的有限长序列的N点DFT为，且则(5.2-14)证明：令m=k+l，则有5.2.3离散傅里叶变换的基本性质187、循环卷积（1）定义和均是长度为的有限长序列。5.2.3离散傅里叶变换的基本性质*19循环卷积计算过程如图（a）（b）5.2.3离散傅里叶变换的基本性质20（c）（d）5.2.3离散傅里叶变换的基本性质21（e）图5-4循环卷积过程示意图因为

7、卷积过程只在主值区间内进行，实际上就是的循环移位。5.2.3离散傅里叶变换的基本性质22（2）时域循环卷积定理设和分别是长度为和的有限长序列，取。即且则5.2.3离散傅里叶变换的基本性质23证明：对上式两边直接进行DFT，令5.2.3离散傅里叶变换的基本性质24(3)频域循环卷积定理若，则5.2.3离散傅里叶变换的基本性质258、帕塞瓦尔定理（Parseval）设长度为N的有限长序列的N点DFT为，则（5.2-18）表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的，即能量守恒原理。5.2.3离散傅里叶变换的基本性质269、DFT的对称性因为把有限长序列看成周

8、期为N的时