信号与系统——信号分析与处理 上册 教学课件 作者 程耕国 第2章.ppt

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1、第2章时域连续信号的频域分析引言2.1信号的正交分解2.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数2.3非周期信号的频谱分析—傅里叶变换2.4傅里叶变换的基本性质2.5周期信号的傅里叶变换2.6时域采样定理2.7小结1引言信号具有时域特性和频域特性，本章讨论信号的频域特性，其目的之一是掌握信号频域特性的分析，二是为系统的频域分析方法作准备。从本章开始由时域转入变换域分析，频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。2

2、2.1信号的正交分解由上一章的讨论可知，连续时间信号可以表示为基本信号的线性组合，其基本信号为阶跃信号或冲激信号。这种分解不仅是信号分析所需要的，同时，也对求解连续信号通过线性时不变系统的零状态响应带来方便。信号分解的方法并不是唯一的，本章将介绍信号的另一种分解形式，即将连续信号分解为一系列的正交函数，各正交函数属于一完备的正交函数集。32.1.1正交函数集图2-1(a)平面矢量分解如令为各相应方向的正交单位矢量。可写为：信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。譬如，在平面上的矢量在直角坐标中可以分解为x方向分

3、量和y方向分量。4对于一个三维空间的矢量可以用一个三维正交矢量集的分量组合表示，可写为：图2-1(b)空间矢量分解正交函数集5正交函数集空间矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，要信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号可表示成它们的线性组合。定义在区间内的两个函数和若满足:则称和在区间内正交。6正交函数集为一常数。对于实变函数，上式可简化为：若个函数构成一个函数集，当这些函数在区间内满足：7正交函数集则称此函数集为在区间上的正交函数集。在区间内相互正交的n个函数构成正交信号空间。如果在正交函数集之

4、外，不存在任何函数满足：则称此函数集为完备正交函数集。8正交函数集即与函数集的每一个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。显然不包含的集是不完备的。例如：三角函数集和虚指数函数集是两组典型的在区间上的完备正交函数集。9正交函数集因为10正交函数集对于所有的和112.1.2信号的正交分解设有个函数在区间上构成一个正交函数集，将任一函数用这个正交函数的线性组合来近似，可以表示为：显然，应选取系数使得实际函数与近似函数之间误差在区间内最小。12信号的正交分解这里“误差最小”不是指平均误差最小，因为平均误差很小甚至等于零时，也可能出

5、现较大的正误差与较大的负误差在平均过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差的均方值最小。误差的均方值也称为均方误差，用符号表示：13信号的正交分解即展开上式的被积函数，因为不同的正交函数相乘的各项其积分均为零，且所有不包含的各项对求导也等于零。上式可化简为：14信号的正交分解交换微分与积分次序，得于是可求得15信号的正交分解若为复函数集,则为162.2周期信号的频谱分析——傅里叶级数早在18世纪中叶，丹尼尔.伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和。这一事实用

6、数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为的函数，都可用一系列以为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即：172.2.1三角形式的傅里叶级数十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：任意函数都可以展成三角级数。周期信号，周期为，基波角频率为，满足狄里赫利条件时，可展成：称为三角形式的傅里叶级数。18傅里叶级数由正、余弦正交条件，可得傅里叶系数：直流分量：余弦分量的幅度：正弦分量的幅度：19傅里叶级数可见，傅里叶系数和都是(或)的函数。其中是(或)的偶函数，即有：=。是(或)的奇函数，即有：=-。在确定上述积分时，只要积分区间

7、是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求。根据三角函数的运算法则，上式可写成如下形式：20傅里叶级数其中21傅里叶级数上式表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号可分解为直流和许多余弦(或正弦)分量。其中第一项是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；第二项为基波或一次谐波，它的角频率与原信号相同，是基波振幅，是基波初相角；称为次谐波，是次谐波振幅，是次谐波初相角。22傅里叶级数周期信号傅里叶级数的物理意义在于：周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐波分量之加权和。是对信号中的每一个谐波分量的大小作出的度量，称为傅里叶级数的系

8、数或频谱系数(或称为加权系数)。针对不同的信号，其不一样，则频谱图不同。频谱图绘出了信号的频谱特性，如信号由那些谐波分量构成；分量的大小，分布等信息。它与信号的时域波形表示是等价的。23傅里叶级数例2-1试将图2-2所示的方波信号展开为傅里叶级数。解：24傅里叶级数25傅里叶