上两种拓扑的比较与的完备性

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1、PureMathematics理论数学,2013,3,81-86doi:10.12677/pm.2013.31013PublishedOnlineJanuary2013(http://www.hanspub.org/journal/pm.html)pAComparisonofTwoTopologiesforLandthepCompletenessofLS12MingzhiWu,YuanZhao1SchoolofMathematicsandSystemsScience,BeihangUniversity,Beijing2BasicSubjectsDepartment,HebeiFi

2、nanceUniversity,BaodingEmail:wumz@smss.buaa.edu.cn,zhaoyuan135821@163.comstthstReceived:Nov.21,2012;revised:Dec.9,2012;accepted:Dec.21,2012Abstract:First,wemakeaprimarycomparisonofthe,-topologyandthetopologyofconvergenceinppprobabilityforL.Then,usingtherelationofthetwokindsoftopologiesforL

3、,wegiveaproofofStricker’slemmabasedonaresultinthetheoryofrandomnormedmodules.Atlast,weshowthattheran-pdomnormedmoduleLSiscompleteifandonlyifSiscomplete.Keywords:RandomNormedModule;,-Topology;TopologyofConvergenceinProbabilityppL上两种拓扑的比较与LS的完备性12吴明智，赵媛1北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京2河北金融学院基础部，保

4、定Email:wumz@smss.buaa.edu.cn,zhaoyuan135821@163.com收稿日期：2012年11月21日；修回日期：2012年12月9日；录用日期：2012年12月21日pp摘要：首先，本文对L上的,-拓扑和依概率收敛拓扑作了一点初步的对比。接着，以L为桥梁，利用其上两种拓扑的关系，运用随机赋范模理论中的一些结果给出Stricker引理的证明。最后，p本文证明随机赋范模S生成的随机赋范模LS是完备的当且仅当S是完备的。关键词：随机赋范模；,-拓扑；依概率收敛拓扑1.引言2009年，数理金融学家D.Filipović,M.Kup

5、per和N.Vogelpoth在[1,2]中提出了研究条件风险度量理论的模pp途径，其中极其关键的一点是，他们引入比L空间更广泛的具有模结构的L空间作为模型空间。2011年，p郭铁信在[3]中证明L空间可作为统一研究先前文献中提出的最主要的几类条件风险度量的最一般的模型p空间。在随机赋范模(简记为RN模)及其随机共轭空间理论的框架下，以L空间作为模型空间的条件风险p度量的Fenchel-Moreau型表示定理已经得到清晰的阐释。要进一步发展以L空间作为模型空间的条件风险p度量理论，例如，考虑此类条件风险度量的优化问题，对L空间的各种性质的研究是必要的基础

6、。p注意到在L上可赋以两种重要的拓扑：一种是在RN-模及其随机共轭空间理论框架下自然使用的Copyright©2013Hanspub81pp吴明智，赵媛L上两种拓扑的比较与LS的完备性,-拓扑，一种是作为由随机变量等价类所构成的空间自然具有的依概率收敛拓扑。尽管,-拓扑是研究pL的主要拓扑，但是依概率收敛拓扑是风险度量理论乃至数理金融研究文献中广泛使用的拓扑。要充分开pp发L在条件风险度量理论研究领域中的应用，对于L空间上的,-拓扑和依概率收敛拓扑作一些对比研究是有益的。二者的对比将有助于RN-模及其随机共轭空间理论在条

7、件风险度量理论研究中的进一步应用。p本文以L为桥梁，利用其上两种拓扑的关系，运用RN-模理论中的一些结果，给出在数理金融领域多时期市场资产定价基本定理的研究中有着重要作用的Stricker引理的证明。pp另外，本文还将考虑比L空间更一般的空间LS，其中S是一个RN-模，此类空间由郭铁信于文[4]p中类比引入。注意到S生成的赋范空间LS在一些关于S的研究中所起的桥梁作用(参