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《R平方上的完备性定理等价性与应用【毕业论文】》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、（20__届）本科毕业设计数学与应用数学上的完备性定理等价性与应用18摘要：运用两种不同的角度证明上的完备性定理几个定理之间的等价性，并应用上的完备性定理几个定理分别去证明有界闭域上的连续函数的有界性定理和一致收敛性定理.关键词：完备性，等价性1、引言在（在文献[2]）中的在第16章平面点集和多元函数中的第一节中提及了上的完备性定理，因为上的完备性定理是二元函数极限理论的基础.为此，在该书中先给出平面点列的收敛的概念.定义1设为平面点列，为一固定点，若，使当有则称点列收敛于记作或然后再给出上的完备性定理.定理16.1（柯西准
2、则）平面点列收敛的充要条件是：任给正数，存在正整数N，使得当时，对一切正整数，都有.定理16.2（闭域套定理）设是中的闭域列，它满足：1、2、则存在唯一的点.定理16.3（聚点定理）设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点.推论：有界无限点列必存在收敛子列.定理16.4(有限覆盖定理）设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了D（即）,则在中必存在有限个开域，它们同样它覆盖了D（即）18我们这里要说明上的完备性定理的四个定理之间是等价的，在这里我将用循环论证即：的方法去证明他们之间的等价性和以其中的一个定理为公理去证明其他三个定理的
3、的方法去证明他们之间的等价性.2：循环论证2.1用柯西准则证明闭域套定理在闭域套的每一个内任取一点,构成一个互不相同的平面点列，则对一切自然数，由于，所以，因此.由定义，任给正数，存在正整数N，使得当，对一切自然数，都有，则由柯西准则收敛，记作.现证，我们任取n，对一切自然数都有.再令，由于是闭域，从而必定是闭集，因此作为的聚点必定属于，即：.最后证明的唯一性，若还有，则由所以，.2.2用闭域套定理证明聚点定理因为E是平面有界集合，因此存在一个闭正方形，连接正方形对边的中点，把分成四个小的闭正方形，则在这四个小正方形中，至少
4、有一个小闭正方形含有E中无限多个点.记这个小闭正方形为，再对正方形如上法分成四个更小的闭正方形，其中又至少有一个闭正方形含有E的无限多个点，如此下去得到一个正方形序列：容易看到这个闭正方形序列的边长随着n趋向于无限而趋向于零.于是由闭域套定理，存在一点18现证就是E的聚点.任取的的邻域，当充分大之后，正方形的边长可小于，即有，又由的取法知道中含有E的无限多个点，这就表明是E的聚点.2.3用聚点定理证明有限覆盖定理这里我们先证明聚点定理的推论：致密性定理.致密性定理：有界无限点列必存在收敛子列.证明：为上的有界点列，若中有无限
5、多个相等的项，则由此组成的点列是常点列，所以收敛.若不含有无限多个相等的项，则在平面上必定是一有界无限点集，由聚点定理：至少有一个聚点，设为，则由定义存在一个收敛的子列.现再证有限覆盖定理设为有界闭域,开域族为E的一个覆盖,反设不存在中的有限个开域覆盖E,由为有界闭域,则必存在中的闭正方形区域,使得.将沿对边中点分成四个小闭正方形区域,则E在四个小闭正方形区域中的部分至少有一个不能用中的有限个开域覆盖,该正方形区域记为,按上述方法依次进行下去,得到,⋯,取则为有界无限点列.由致密性定理,必有收敛子列.令由于为有界闭域,开域族
6、为E的一个覆盖,则,且存在一个开域,使得,同时存在δ>0,使得又正方形的边长趋于0,则n充分大时,,即n充分大时,可由一个开域覆盖,这与上述的构造矛盾,即存在中的有限个开域覆盖E.2.4用有限覆盖定理证明柯西准则若有无穷多项相等即则.即.而对于存在,使，故18.即.若中没有无限多项相等,则为无限点列.而由题设知有界.设D为有界闭域,反证法,假设不收敛,则都不是极限点,故,使中至多有的有限项,否则中有的无限项.由已知条件,存在有一定存在且从而，即.与假设矛盾.故存在使中至多有有限项,显然,覆盖了,从而有有限个开覆盖能覆盖,设覆
7、盖了从而也覆盖了而每个中至多有中有限项.从而至多有有限项,与为无限点列矛盾.3．用柯西准则证明另外三个定理为了进一步说明上的几个完备性之间的等价性，现在我们用他们之中的一个定理去证明另外三个定理，在这里我们用柯西准则去证明另外三个定理：3.1用柯西准则证明闭域套定理闭域套定理：设是中的闭域列，它满足：（i）（ii）则存在唯一的点.在闭域套的每一个内任取一点,构成一个互不相同的平面点列，则对一切自然数，由于，所以，因此.由定义，任给正数，存在正整数N，使得当，对一切自然数，都有，则由柯西准则收敛，记作.现证，我们任取n，对一切
8、自然数都有18，再令，由于是闭域，从而必定是闭集，因此作为的聚点必定属于，即：最后证明的唯一性，若还有，则由所以，3.1用柯西准则证明聚点定理聚点定理：设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点.由的有界性,必存在中的闭正方形区域,取将沿对边中点分成四个小闭正方形区域,则在四个小闭正方形区域中
