九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时图形面积和动点几何问题练习新版湘教版

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1、第2课时　图形面积和动点几何问题知

2、识

3、目

4、标1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．目标一　能利用一元二次方程解决图形面积问题例1教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．图2－5

5、－2【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超范围的根，从而得出结果．目标二　利用一元二次方程解决动点几何问题例2教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间

6、为ts(t>0)．(1)填空：BQ＝________cm，PB＝________cm(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【归纳总结】利用一元二次方程解决动点问题的方法(1)构造直角三角形法，利用勾股定理建立一元二次方程．(2)等线段法，利用三角形全等构造两线段相等，建立一元二次方程；(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实现将几何问题转化为代

7、数问题，从而加以解决．知识点　利用一元二次方程解几何图形问题常用的等量关系有：(1)勾股定理；(2)面积的等量关系．[点拨]在建立一元二次方程模型解几何图形实际问题的过程中，必须检验方程的根的实际意义，所求得的根应该保证几何图形的存在．如图2－5－3，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．图2－5－3解：解法1：设小路的宽为xm，则东西方向小路的面积为40xm2，南北方向小路的面积为32xm2.则40

8、×32－40x－32x＝1140，解得x＝.所以小路的宽为m.解法2：设小路的宽为xm，将4块种植地平移为一个矩形，其长为(40－x)m，宽为(32－x)m.根据矩形面积公式，得(40－x)(32－x)＝1140，整理得x2－72x＋140＝0.解得x1＝2，x2＝70.答：小路的宽应是2m或70m.以上两种解法正确吗？若不正确，出现错误的原因是什么？请给出正确的答案．详解详析【目标突破】例1　解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米．(2)由已知可列方程：60×40－(40－2a

9、)(60－2a)＝×60×40，解得a1＝5，a2＝45(舍去)．答：此时通道的宽为5米．例2　解：(1)2t　(5－t)(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2.∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm.(3)存在．∵矩形ABCD的面积是5×6＝30(cm2)，五边形APQCD的面积等于26cm2，∴△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)，∴(5－t)×2t×＝4，解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1.即当t＝1时，五边形APQCD的面积等于26cm2.备选题

10、型　用一元二次方程解决存在性问题例　用一根长22cm的铁丝，能不能恰好折成一个面积为32cm2的矩形？试分析你的结论．解：设折成的矩形的长为xcm，则宽为(11－x)cm，矩形的面积为x(11－x)cm2，依题意，得x(11－x)＝32，化简为x2－11x＋32＝0，Δ＝b2－4ac＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0，因此方程无实数根，则用长为22cm的铁丝不能折成一个面积为32cm2的矩形．【总结反思】[反思]解：两种解法都不正确，解法1多减去了两条小路交叉重叠的小正方形的面积，因此正

11、确的方程是40×32－40x－32x＋x2＝1140；解法2没有考虑方程的根是否符合实际意义，因为x＜32，显然x＝70不符合题意．正确的答案为x＝2，即小路的宽为2m.