2008年全国高中数学联赛及答案

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1、万方数据20中等数学2008年全国高中数学联赛第一试～一、选择题(每小题6分，共36分)1．函数八z)：掣在(一∞，2)上的最小值是()．7’，．(A)O(B)l(C)2(D)32．设A=[一2，4)，口={菇l菇2一饿一4≤o}．若B∈A，则实数口的取值范围是(，)．(A)[一l，2)1(B)[一l，2]．、．(c)[o，3](D)[o，3)．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为鲁，乙在每局中获胜的概率为{

2、，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数亭的期望瞄为(，)．，。(A)哿jB)署(c)署～(D)舞4．若三个棱长均为整数(单位：咖)的正方体的表面积之和为564c矗，则这三个正方体的体积之和为()．’(A)7“cm3或586咖3(B)7“锄3‘(C)586cm3或564锄3(D)586嘲3．一f戈+，，+多=o，．。5．方程组{彬+z=o，的有理数、‘，’【掣0声+幺0，，：o，·解(髫，，，，：)的个数为()．．‘一(A)l(B)2(C)3(D)46．设△朋C的么A、么曰、么C所对的边口、6、c成

3、等昆数列．则兰l箬器捌的取值范围是(。)．，(A)(O，+∞)cB，(o，掣)’cc，(掣掣)㈣(字一)．二、填空题(每小题9分，共54分)，7．设八茗)=僦+6(口、6为实数)，^(名)=以茗)，五+，(膏)=以五(石))(n=l，2，⋯)．若^(算)=128z+38l，则口+6=：．8．设以．戈)=cos2石一2口(1+cos戈)的最小值为一妄．则口=．9．将24个志愿者名额分配给3所学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种．。10．设数列{％}的前肛项和．s。满足最+‘‰=揣

4、(五=l，妒‘)．15n+口n2i1了而【n2l，孑，⋯J·，则通项o。=．11．设／(茹)是定义在R上的函数．若八O)=2008，且对任意髫∈R，满足八髫+2)一八髫)≤3×2。，八菇+6)一八菇)≥63×22，则以2008)=——．‘12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4拓的正四面体容器内可向各个方向自由运动．则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．三、解答题(每小题20分，共60分)13．已知函数以茹)=Isin茗I的图像与直线)，=h(矗>0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为d

5、．求证：oos口1+左2·赢忑了丽。百·万方数据2008年第12期2l14．解不等式．1092(并12+3茗m+5髫8+3髫6+1)<．1+l092(茹4+1)．+15．如图l，P是抛物线’，2=2戈上的动点，点曰、C在，，轴上，圆(膏一1)2+y2=l内切于△船c．求△瑚}C面积的最小值．．刁必。E国。图l图2’加试一、(50分)如图2，给定凸四边形他CD，么B+么D<1800，P是平面上的动点，令八P)=以。曰c+PD‘“+Pc·彻．(1)求证：当．厂(P)达到最小值时，P、A、召、C四点共圆；，

6、(2)设E是△肚C外接圆oD的肥上一点，满足～篙：弩，等：以“面2虿，丽2吖j一1，么ECB=去[ECA，又以、Dc是O0的切线，AC=压，求．厂(P)的最小值．‘二、(50分)设．厂(菇)是周期函数，r和l是八菇)的周期且0<丁<1．证明：1(1)若z为有理数，则存在质数p，使{是．厂(戈)的周期；。(2)若r为无理数，则存在各项均为无理数的数列{口。}满足l>拄。>口。+。>o(珏=1，2，⋯)，且每个口。(，l=l，2，⋯)都是／(髫)的周期．三、(50分)设DI>0(后=l，2，⋯，2瞄200

7、8)．证明：当且仅当∑吼>1时，存在数七=I列{‰}满足以下条件：(1)0=筇o<茁。之菇。+l(n=l，2，⋯)；’(2)lim茗。存在；^—P_参考．答案．．．：第一试，，一、1．C．“．当茗+<2时，2一石>0．因此，，(髫)=去+(2一菇)≥2，当且仅当—L=2一若时，上式等号成立．而Z一茹此方程有解菇=l∈(一∞，2>。因此，以茗)在(一∞，2)上的最小值为2．，月。‘2．D．．：’：因为菇：一似一4：0有两个实根，所以，髫。=号一√4t筹，髫：i詈÷√4+等．故日∈A等价于筇l≥一2且茹2

8、<4，即号一√4+筹≥二2且号+√4+萼<4．解得O≤口<3．；．3．B．依题意知，导的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮．则该轮结束时比赛停止的概率为(吾)2+({)2=吾．’若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而，P(手=2)=吾，P(导=4)=号x吾=言，‘眦-6)=(吾)2=器．+％+吼狮∑Ⅲ一辟0勰∑7，=‰．一一0h乞@L=玷万方数据中等数学，、一故艮=2×吾14×器