2003年全国高中数学联赛及答案

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1、2003年全国高中数学联赛试题第一试2003年10月12日一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1.删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.　这个数列的第2003项是【答】（　）（A）2046(B)2047(C)2048(D)2049yxxyyxyx2.设那么直线和曲线的图形是【答】（　）(A)(B)(C)(D)3.过

2、抛物线的焦点F作倾斜角为的直线.若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于【答】（　）（A）(B)(C)(D)4.若则的最大值是（A）(B)(C)(D)【答】（　）5.已知在区间内，且则函数的最小值是（A）(B)(C)(D)【答】（　）6.在四面体ABCD中设，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于【答】（　）（A）(B)(C)(D)二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7．不等式的解集是______________8．设是椭圆的两

3、个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_____________.9.已知若，则实数的取值范围是_____________.10.已知均为正整数，且若，则____________.11.将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设是中元素的个数，是中所有元素的和，则________.三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设证明不等式414．设A,B,C分别是复数（其中都是实数）对应的不共线的三点.证明：曲线与中平行

4、于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.15.一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片，使圆周上某一点刚好与A点重合.这样的每一种折法，都留下一条直线折痕.当取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题第二试一、（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A,B.所作割线交圆于C,D两点，C在P,D之间.在弦CD上取一点Q,使求证：二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数且已知其中而表示不超过的最大整数.求这种三角形周长的最小值.三、（本题满

5、分50分）由n个点和这些点之间的条连线段组成一个空间四边形，其中已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有条连线段.证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形）42003年全国高中数学联赛第一试参考答案一、选择题123456CBACDB提示：1.注意到,,故;2.题设方程可化为和,观察图形可知；3.易知直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程,从而弦AB中点的横坐标为,纵坐标,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=；4.原函数可化为,

6、可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当时，y取最大值;5.消去y之后可得：,用基本不等式可求得函数u的最小值;6.可用等积法求得，过程略。二、填空题7..提示：原不等式可以化为:8.4是直角三角形，故的面积为;9.提示：,令,,则只需在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是,由此推出;10．93提示：由已知得,,又，故,推得,;11．提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。由于A1

7、A=A1B=AB=2,,,求得,故所求的高为；12．提示：,三、解答题13．证明：由可得4当且仅当a=b=c=d时取等号……5分则……………………………………………………15分因为不能同时相等，所以……………………………………20分14．设,则代入并由复数相等可得即因为A,B,C不共线，所以,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分AB,BC的中点分别是,；所以DE的方程为……………………………10分联立两式得,得,注意到,所以抛物线与中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为,相应的复数为…………………………………

8、………………………15分15．如图建立直角坐标系，设,MN为AA1的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，则

9、PA

10、=

11、PA1

12、……5分代入推得………10分可得其中,.所以…………15分平方后可化为所求点的集合为椭圆外（含边界）部分。