2005全国高中数学联赛试题及答案

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1、二〇〇五年高中数学联赛试卷一、选择题1.使关于x的不等式有解的实数k的最大值是A.B.C.D.2.空间四点A、B、C、D，满足、、、，则的取值A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个3.△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是A.2B.4C.6D.84.如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则A.S是定值，l不是定值B.S不是定值，l是定值C.S、l均是定值D.

2、S、l均不是定值5.方程表示的曲线是A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线6.记集合，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是A.B.C.D.二、填空题7.将多项式表示为关于y的多项式，且，则=__________。8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则实数a的取值范围是_____________。9.设α、β、γ满足，若对任意，成立，则=_____。10.如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________。11.

3、正方形ABCD的一条边在直线上，另外两顶点在上，则正方形面积的最小值为_____________。12.若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______。三、解答题13.数列{an}满足a0=1，，，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数。13共13页14.将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值

4、的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。15.过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。13共13页二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2．

5、如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1．使关于的不等式有解的实数的最大值是（）A．B．C．D．解：令则的最大值为。选D。2．空间四点A、B、C、D满足则的取值（）A．只有一个B．

6、有二个C．有四个D．有无穷多个解：注意到由于则=即只有一个值得0，故选A。3．内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、。则的值为（）A．2B．4C．6D．8解：如图，连，则13共13页4．如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（）A．S为定值，不为定值B．S不为定值，为定值C．S与均为定值D．S与均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的

7、每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值。当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B。5.方程表示的曲线是（　　　）A．焦点在轴上的椭圆　　　　　　B．焦点在轴上的双曲线C．焦点在轴上的椭圆　　　　　　D．焦点在轴上的双曲线解：即又方程表示的曲线是椭圆。13共13页即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。6.记集合将M中的元素按

8、从大到小的顺序排列，则第2005个数是（　　　　）A．　　B．C．　　D．解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得中的最大数为。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以，便得M中的数故选C。二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要