2005全国高中数学联赛精彩试题及问题详解[1]

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1、实用标准文案2005年高中数学联赛试卷(一)一、选择题1.使关于x的不等式有解的实数k的最大值是()A.B.C.D.2.空间四点A、B、C、D,满足、、、,则的取值()A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个3.△ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点,则的值是()A.2B.4C.6D.84.如图,ABCD-A'B'C'D'为正方体,任作平面α与对角线AC'垂直,使α与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为l,则()A.S是定值,l不是定值B.S不

2、是定值,l是定值C.S、l均是定值D.S、l均不是定值5.方程表示的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线6.记集合,,将M中的元素按从大到小顺序排列,则第2005个数是()A.B.C.D.二、填空题7.将多项式表示为关于y的多项式,且,则=__________。8.f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若成立,则实数a的取值范围是_____________。9.设α、β、γ满足,若对任意,成立,则=_____。10.如图,四面体DABC的体积为,∠A

3、CB=45°,,则CD=_________。11.正方形ABCD的一条边在直线上,另外两顶点在上,则正方形面积的最小值为_____________。12.若自然数a的各位数字之和为7,则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列:a1、a2、a3…,若an=2005,则a5n=______。三、解答题13.数列{an}满足a0=1,,,证明:(1)对于任意,a为整数;(2)对于任意,为完全平方数。文档大全实用标准文案14.将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球,

4、设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S,求值S达到最小值的方法的概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种方法重合,则认为是相同方法)。15.过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D,交y轴于B,C在抛物线上,E在线段AC上,,F在线段BC上,,且λ1+λ2=1,线段CD与EF交于P,当C在抛物线上移动时,求P的轨迹方程。文档大全实用标准文案2005年全国高中数学联赛试卷(二)一、(本题满分50分)如图,在△ABC中,设AB>AC,过A作△ABC的外接圆的切线l,又以A为圆心,AC为半径作圆分

5、别交线段AB于D;交直线l于E、F。二、(本题满分50分)设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.三、(本题满分50分)对每个正整数n,定义函数(其中[x]表示不超过x的最大整数,试求:的值.文档大全实用标准文案2005年全国高中数学联赛试卷(一)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。2.如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本

6、评分标准适当划分档次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次。一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。1.使关于的不等式有解的实数的最大值是()A.B.C.D.解:令则的最大值为。选D。2.空间四点A、B、C、D满足则的取值()A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个解:注意到由于则=即只有一个值得0,故

7、选A。3.内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、。则的值为()A.2B.4C.6D.8解:如图,连,则文档大全实用标准文案4.如图,为正方体。任作平面与对角线垂直,使得与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为.则()A.S为定值,不为定值B.S不为定值,为定值C.S与均为定值D.S与均不为定值解:将正方体切去两个正三棱锥后,得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱剪开

8、,展平在一张平面上,得到一个,而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段(如图中),显然,故为定值。当位于中点时,多边形W为正六边形,而当移至处时,W为正三角形,易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与,故S不为定值。选B。5.方程表示的曲线是(   )A.焦点在轴上的椭圆      B.焦点在轴上的双曲线C.焦点在轴上的椭圆     

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