高等数学二重积分概念与性质

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1、柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的概念积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐

2、标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）解解解解二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分

3、区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答练习题练习题答案求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．