非线性方程求根(I)

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1、第七章非线性方程(组)的数值解法数值分析本章内容非线性方程求解二分法不动点迭代法及其加速牛顿法、弦截法、抛物线法求根问题的敏感性与多项式的零点非线性方程组的数值求解2021/10/82NumericalAnalysis本讲内容迭代格式加速算法收敛性非线性方程求解介绍二分法及其收敛性不动点迭代及其加速2021/10/83NumericalAnalysis非线性方程数值解法考虑方程若f(x)是一次多项式，则称为线性方程；否则称为非线性方程f(x)=0若f(x)=a0+a1x+...+anxn，则称为代数方程n=1,2,

2、3,4时有相应的求根公式，n5时不存在求根公式非线性方程可能有(无穷)多个解，求解时必须强调求解区间非线性方程一般没有直接解法，通常都使用迭代算法求解2021/10/84NumericalAnalysis非线性方程数值解法几个基本概念实根与复根根的重数f(x)=(x–x*)m·g(x)且g(x*)0,则x*为f(x)=0的m重根有根区间：[a,b]上存在f(x)=0的一个实根研究内容：在有根的前提下求出方程的近似根2021/10/85NumericalAnalysis二分法（对分法）基本思想将有根区间进行对分，

3、找出根所在的小区间，然后再对该小区间对分，依次类推，直到有根区间的长度满足给定的精度为止数学原理：介值定理设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则由介值定理可得，在(a,b)内至少存在一点使得f()=0适用范围求有根区间内的单重实根或奇重实根，即f(a)f(b)<0用二分法求根，通常先给出f(x)草图以确定有根区间2021/10/86NumericalAnalysis二分法算法：(二分法)(1)计算f(a)，f(b)，若f(a)f(b)>0，则停止计算(2)对k=1,2,...,maxit计算f

4、(x)，其中若

5、f(x)

6、<或b-a<，停止计算，输出近似解x若f(a)·f(x)<0，则令b=x;否则令a=x优点：简单易用，总是收敛缺点：收敛速度慢，不能求复根和偶数重根总结：一般用来计算解的一个粗糙估计2021/10/87NumericalAnalysis误差分析记a1=a,b1=b,第k步的有根区间为[ak,bk]结论：二分法总是收敛的2021/10/88NumericalAnalysis不动点迭代基本思想构造f(x)=0的一个等价方程：(x)的不动点f(x)=0x=(x)等价变换f(x)的零点20

7、21/10/89NumericalAnalysis不动点迭代具体过程任取一个迭代初始值x0，计算得到一个迭代序列：x0，x1，x2，...，xn，...k=0,1,2,......几何含义：求曲线y=(x)与直线y=x的交点2021/10/810NumericalAnalysisxyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x22021/10/811NumericalAnalysis连

8、续性分析设(x)连续，若收敛，即，则即收敛性分析性质：若，则不动点迭代收敛，且x*是f(x)=0的解；否则迭代法发散。2021/10/812NumericalAnalysis解的存在唯一性定理：设(x)C[a,b]且满足证明：P216对任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常数0

9、[a,b]有(x)[a,b]存在常数0

10、’(x)

11、L<1则上述定理中的结论成立。收敛性结论表明：收敛性与初始值的选取无关全局收敛2021/10/815NumericalAnalysis举例例：求f(x)=x3–x–1=0在区间[1,2]中的根(1)

12、(2)2021/10/816NumericalAnalysis局部收敛定义：设x*是(x)的不动点，若存在x*的某个-邻域U(x*)=[x*-,x*+]，对任意x0U(x*)，不动点迭代xk+1=(xk)产生的点列都收敛到x*，则称该迭代局部收敛。定理：设x*是(x)的不动点，若’(x)在x*的某个邻域内连续，且

13、’(x*)

14、<1则不动点