常用数值分析方法1非线性方程求根(I)

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1、第一章材料科学研究中的常用数值分析方法主要内容§1非线性方程求解§2线性方程组的数值解法§3插值法与曲线拟合§4有限差分法与有限单元法§1非线性方程求解1.1概述1.2对分法1.3迭代法1.4Newton法1.5弦截法其他方法：Aitken加速法、Steffensen加速法、重根加速收敛法、抛物线法、牛顿下山法、劈因子法等。1.1非线性方程求解概述很多科学计算问题常常归结为求解方程：非线性方程求解概述(续）例如，从曲线y=x和y=lgx的简单草图可看出方程lgx+x=0有唯一的正根x*，但是没有求x*的准确值的已

2、知方法，即使是对代数方程，要求其精确解也是困难的。对于二次方程ax2+bx+c=0，我们可以用熟悉的求根公式：对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并不实用。而对于大于等于五次的代数方程，它的根不能用方程系数的解析式表示，至于一般的超越方程，更没有求根公式。因此，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。对于方程（1-1）要求得其准确解一般来说是不可能的。求方程根近似解的几个问题：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，严格单调，且f(a)f(b)<0，则在[a,b]内方程f(x)=0有且仅有一

3、个实根。根据此结论，我们可以采用如下两种方法求出根的隔离区间。1.根的存在性：方程是否有根？如果有根，有几个根？2.根的隔离：确定根所在的区间，使方程在这个小区间内有且仅有一个根，这一过程称为根的隔离，完成根的隔离，就可得到方程的各个根的近似值。3.根的精确化：已知一个根的粗略近似值后，建立计算方法将近似解逐步精确化，直到满足给定精度为止。关于根的存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关代数学内容。根的隔离主要依据如下结论：求根的隔离区间的两种方法1.描图法：画出y=f(x)的草图，由f(x)与x轴交点的大概位

4、置来确定有根区间。也可利用导函数f(x)的正、负与函数f(x)的单调性的关系来确定根的大概位置。例1求f(x)=3x1cosx=0的有根区间解：将方程变形为3x1=cosx绘出曲线y=3x1及y=cosx，由图1-1可知，方程只有一个实根：yxx*图1-1解：令f(x)=4x312x2=0，可得驻点x1=0,x2=3,由此而得到三个区间(,0)(0,3),(3,),f(x)在此三个区间上的正负号分别为“”，“”，“+”，由此可见，函数f(x)在此三个区间上为“减”，“减”，“增”，并且因

5、为f()>0,f(0)=1>0,f(3)=26<0,f()>0所以仅有二个实根，分别位于(0,3),(3,)内。又因f(4)=1>0,所以，二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)。例2从区间[a,b]的左端点a出发，按选定的步长h一步步向右搜索，若:则：区间[a+jh,a+(j+1)h]内必有根。搜索过程也可以从b开始，这时应取步长h<0。求出根的隔离区间后，就可采用适当的方法，使其进一步精确化。下面介绍几种常用的精确化根的方法（非线性方程求解的方法）2.逐步搜索法：1.2对分法（二分法）设f(x)

6、在区间[a,b]上连续，严格单调，且f(a)f(b)<0，不妨设f(a)<0,f(b)>0，则方程f(x)=0在[a,b]内存在唯一实根，对分法的基本思想是：用对分区间的方法，通过判别函数f(x)在每个对分区间中点的符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个具有相当精确程度的近似根。具体步骤为:对分法（续）若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当n→∞时，区间将最终收缩为一点x*，显然x*就是所求方程的根。abx1x2abWhentostop?或不能保证x的精度x*2xx*对分法的几何意义

7、对分法的误差估计作为x*的近似值，则误差为：只要n足够大（即区间对分次数足够多），xn的误差就可足够小，且只要f(x)连续，对分区间总是收敛的。式（1-2）不仅可以估计对分区间法的误差，而且可以用给定的误差限估计出对分区间的次数，因为由式（1-2）有：若取区间[an,bn]的中点：对分法举例例3解：因为：f(x)连续且f(x)=3x2+10>0(x(,))，故：f(x)在(,)上单调增加而：f(1)=9<0,f(2)=8>0所以：原方程在（1，2）内有唯一实根。Nanbnxnf(xn)01

8、21.5-1.62511.521.752.85937521.51.751.6250.5410156331.51.6251.5625-0.5603027341.56251.6251.59375-0.0143127451.593751.6251.6093750.2621727061.593751.60937501.60156250.1236367271.5937