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《导数的应用 复习课》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数的应用复习目标：1．理解可导函数的单调性与其导数的关系；2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)。基础热身：1.对于总有成立，则=。（思考：本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立。）解：当时，，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减，，舍去。当时Ks5u①若时在和上单调递增，在上单调递减。所以②当时在上单调递减，，不符合题意，舍去。综上可知a=4.2.设函数，其中a为实数。（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ
2、）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。（思考：第一小题求极值，实际上就是求函数的导数，函数在某一点取得极值，就是在这一点的导数值为零.）解：（I）在取得极值即（Ⅱ）即（思考：要求这个式子在上恒成立，此时将a看做变量，这就是一个关于a的一次函数，并且斜率是大于零的.）令Ks5u即对任意都成立则即知识梳理：1．单调性与导数①若在上恒成立，在函数若在上恒成立，在函数②在区间上是增函数在上恒成立；在区间上为减函数在上恒成立.2．极值与导数10.设函数在点附近有定义，如果左右，则是函数的一个极大值;如果左右，则是
3、函数的一个极小值； 如果左右不改变符号，那么在这个根处 ．注意:①极值是一个局部概念,不同与最值;②函数的极值不是唯一的; ③极大值与极小值之间大小关系:；④数的极值点一定出现在区间的内部.20.求可导函数极值的步骤：① ；② ；③ ．3．利用导数求函数的最值 设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤： ① ；② ．例题分析：例1.已知函数，且是奇函数．
4、（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．（思考：从已知条件来看，求，的值应该从是奇函数着手．）解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，所以，对任意的，，即．又所以．所以解得．（思考：求函数的单调区间，就是讨论导数值大于零，小于零的问题，解题过程中，以图表的形式呈现较为清晰，能够减少失误.）（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．当时，由得．变化时，的变化情况如下表：00所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，，所以函数在上单调递增．例2.已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；Ks5u（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，
5、求的取值范围．（思考：导函数是一个开口向上的一元二次函数，当≤0时，导函数恒大于等于零，>0时，导函数有大于零，也有小于零的部分，这就需要对a分区间进行讨论.）（思考：函数在某一区间为减函数，等价于，函数在这一区间的导函数是小于等于零的.）例3.已知函数，R且.(Ⅰ)若曲线在点处的切线垂直于y轴，求实数的值；(Ⅱ)当时，求函数的最大值和最小值.（思考：函数在某一点的导数的几何意义就是，在这一点切线的斜率，现在题目中要求在P点的切线垂直于y轴，说明该点的切线的斜率为零，即P点的导函数值为零.）解：=Ks5u=.
6、(Ⅰ)∵曲线在点处的切线垂直于y轴，由导数的几何意义得，∴.（思考：将直接代入，会使方程变得很复杂，这里应该做一个变量替换，替换的同时，也要注意变量的范围也相应的发生了变化.）(Ⅱ)设，只需求函数的最大值和最小值.令，解得或.∵，∴.当变化时，与的变化情况如下表：00极大值极小值函数在和上单调递增；在上单调递减；①当，即时，函数在上为减函数.,.②当，即时，函数的极小值为上的最小值，∴.函数在上的最大值为与中的较大者.∵，.Ks5u∴当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时.综上，当时，的最小值为，最大值为；
7、当时，的最小值为，最大值为；当时，的最小值为，最大值为.例4.已知函数有三个极值点。Ks5u（I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。（思考：函数有3个极值点，说明导函数有3个零点）解：（I）因为函数有三个极值点,所以有三个互异的实根.设则当时，在上为增函数;当时，在上为减函数;当时，在上为增函数;所以函数在时取极大值,在时取极小值.（当或时,最多只有两个不同实根.）因为有三个不同实根,所以且.即,且,解得且故.（II）由（I）的证明可知，当时,有三个极值点.不妨设为（），则所
8、以的单调递减区间是,若在区间上单调递减，Ks5u则,或,若,则.由（I）知，,于是若,则且.由（I）知，又当时，;当时，.因此,当时，所以且即故或反之,当或时，总可找到使函数在区间上单调递减.综上所述,的取值范围是.
