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1、导数及其应用（复习课）【教学目标】（1）通过复习复习回顾使学生对学过的知识能系统的掌握。（2）熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题的最大值和最小值。（4）培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。【教学内容】一、知识复习：（1）复习函数的单
2、调性，提出导数的应用的三方面（2）如何判断函数的单调性，求函数的单调区间？（导数的应用一）（3）求函数的极值。（导数的应用二）（4）求函数最值.(导数的应用三)（5）微积分基本定理二、例题探究例1：设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是(C)考查目的：利用导数确定单调性的方法答：由导函数的图像可以看出在（0，2）上导数小于0，从而得出原函数在（0，2）单调递减，可得C例2:函数f(x)=(x2－1)3＋2的极值点是（）A、x=2号B、x=－1C、x=1或－1或0D、x=0错解
3、：f(x)=x6－3x4＋3x2＋1,则由f′(x)=6x5－12x3＋6x=0得极值点为x=1，x=－1和x=0，故正确答案为C.正确解法：事实上,这三点只是导数等于0的点,由f′(x)=6x5－12x3＋6x=6x(x＋1)2(x－1)2知，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，1)，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.f(x)在(－∞，－1)、(－1，0)单调递增，在(0，1)、(1，＋∞)单调递减。则x=0为极小值点，x=－1或1都不是极值点（称为拐点）。故应
4、选D。剖析：（1）满足f′(x0)=0的点x=x0只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。（2）在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f(x)=
5、x
6、的极值点。（x=0(易遗漏)）例3、已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是。考查目的：考查导数的运算及利用导数知识求函数的极值等基本知识和分析问题、解决问题的能力。解：∵f′(x)=3x2+6ax+3a+6，令f′(x)=0，则x2+2ax+a+2=0又∵f(x)既有极大值
7、又有极小值∴f′(x)=0必有两解，即△=4a2-4a-8＞0解得a＜-1或a＞2。探究：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。例4、已知函数（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.考查目的：利用导数求单调区间和最值的方法解：（I）令，解得所以函数的单调递减区间为（II）因为所以因为在（－1，3）上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在[－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间[－2，2]上的最大值和最小值.于是
8、有，解得故因此即函数在区间[－2，2]上的最小值为－7.例5、设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：
9、f(x1)-f(x2)
10、≤。考查目的：本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。解(1)∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=-f(x
11、).∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.∴f′(x)=3ax2+c.∵x=1时,f(x)取极小值-.∴f′(1)=0且f(1)=-,即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，则由f′(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-
12、1)=-1.(*)∵x1、x2∈[-1,1],∴x12-1≤0，x22-1≤0∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=
