反比例函数中K的几何意义 (1)

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1、责任编辑：王二喜反比例函数中K的几何意义文／汤慧研究函数问题，常常要透视函数的本质特征．在反比例函数y＝k（k≠0）中，比例系数k有一个很重要的几何意义：过反比例函数xky＝（k≠0）的图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN（如图1所x示），则矩形PMON的面积S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜.ky∵y＝，∴xy＝k.x∴S＝｜k｜.PN过双曲线上任意一点作x轴、xMOy轴的垂线，所得的矩形面积为常数｜k｜.1S△PNO＝S△PMO＝｜k｜.2图1162009.4课程资源思路·方法在解有

2、关反比例函数的面积问题时，若能灵活运用k的几何意义，会给解题带来方便，现举例说明．一、比较面积大小y1例1如图2，在函数y＝的图AxB像上有三点A、B、C，过这三点分别C向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的x两条垂线与x轴、y轴围成的矩形面O图2积分别为SA、SB、SC，则（）.A.SA＞SB＞SCB.SA＜SB＜SCC.SA＜SC＜SBD.SA＝SB＝SC简解：根据反比例函数k的几何意义可知SA＝1，SB＝1，SC＝1.∴SA＝SB＝SC.选D.二、求面积4例2如图3，如果函数y＝－x与y＝－的图像

3、交于A、B两点，过点xA作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为.分析：若先求出A、C两点的坐标，再求△OBC的面积，则解题过程繁琐.若能利用反比例函数k的几何意义来解，就简捷明快.简解：由双曲线关于原点成中心对称知，O为AB中点.y根据反比例函数k的几何意义得AC1xS△AOC＝×│－4│＝2.O2又△ACO与△BOC是等底等B高的三角形，∴S△OBC＝S△AOC＝2.图32009.417三、确定函数的解析式例3如图4，点P在反比y例函数的图像上，过P点作PPA⊥x轴于A点，作PB⊥y轴于

4、BB点，矩形OAPB的面积为9，则xOA该反比例函数的解析式为.分析：根据反比例函数k的图4几何意义得，S矩形OAPB＝｜k｜＝9.又反比例函数图像在第一、三象限，∴k＝9.yA因此反比例函数的解析式9为y＝.Pxkx例4如图5，双曲线y＝BOCx与直线y＝－x－k相交于A点，过A点作AB⊥x轴于点B，已知S△ABO＝图52，直线与x轴相交于点C.求反比例函数与一次函数的解析式.k1解：由反比例函数y＝中k的几何意义知，S△ABO＝2＝｜k｜.x2∴k＝±4.又双曲线的一支在第二象限，∴k＝－4.－

5、4从而知两个函数的解析式分别为y＝和y＝－x＋4.x182009.4